アットランダム≒ブリコラージュ

循環小数の性質…☆...平方剰余の相互法則とルジャンドル記号の威力…☆

平方剰余の相互法則とルジャンドル記号の具体的な使い方を...

以下のサイトからお勉強 Orz〜^^☆

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/212954 より 引用 Orz〜

「《定理１》

p を2, 5 以外の素数としたとき、循環小数 1/p は (p-1) 桁で循環する。また、その循環節の長さは(p-1) の約数となる。」

これは、1/p=m(循環節e)/99…99(e個の9)

10^e-1=p*m

10^(p-1)≡1　mod p (pは10と互いに素) なので、

循環節e=p-1 or p-1の約数である可能性までは言えますね…^^

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/213119 より 引用 Orz〜

ここからが面白い☆

ですね ^^

これは…

なるほど!!

ここから、平方剰余の相互法則と言われる以下の法則を駆使していくわけね…

画像：http://sci-fi.blog.jp/archives/16383256.html より 引用 Orz〜

https://ja.wikipedia.org/wiki/平方剰余の相互法則 より Orz〜

「この法則は、レオンハルト・オイラーによって予想され、カール・フリードリッヒ・ガウスによって証明された（ガウス日誌によれば、1796年4月8日。発表されたのは1801年の『整数論』において）。ガウスはこの法則に対して生涯で7つの異なる証明を与えた。その一つの動機は、三次や四次の相互法則を証明することにあった。現在では200近くもの証明が知られている。しかし、どれもそれほど簡単ではない。三次や四次の相互法則は、ヤコビ、アイゼンシュタインによって独立に証明された（1844年にアイゼンシュタインが証明を公表）。より高次のまた一般的な代数的整数における一般的な相互法則の証明は（ヒルベルトの第9問題）、高木貞治やエミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）によってなされた。（アルティン相互法則を参照）」

*p は mod 8 で、1,3,5,7だから…^^

*Pは　mod 5 で、1,2,3,4 で…

x^2-p≡0　mod p

を満たすxがあるとき、(p/5)=1

だから…^^

*8m±1=5n±1

8m+1=5n+1・・・40k+1

8m+1=5n-1・・・40k+9

8m-1=5n+1・・・40k+31

8m-1=5n-1・・・40k-1

*8m±3=5n±2

8m+3=5n+2・・・40k+27

8m+3=5n-2・・・40k+3

8m-3=5n+2・・・40k-3

8m-3=5n-2・・・40k+13

ね ^^

*これすなわち、p を40で割った余りが1,3,9,13,27,31,37,39 のいずれかのものは、10を原始根として持たない…逆に、(5),7,11,(15),17,19,21,23,(25),29,33,(35) のものは、10を原始根として持つといえるわけね ^^

当然、2,5は10を原始根として持たない…

*but…

7,11が10を原始根として持たない理由が説明できないなぁ…^^;…?

p-1>10のときだけのよう…?

↓

http://www.freeml.com/bl/8882569/79856/ より 引用 Orz〜

「

p = 2 ; 1

p = 3 ; 2
p = 5 ; 2 3
p = 7 ; 3 5
p = 11 ; 2 6 7 8
p = 13 ; 2 6 7 11
p = 17 ; 3 5 6 7 10 11 12 14
p = 19 ; 2 3 10 13 14 15
p = 23 ; 5 7 10 11 14 15 17 19 20 21
p = 29 ; 2 3 8 10 11 14 15 18 19 21 26 27
p = 31 ; 3 11 12 13 17 21 22 24
p = 37 ; 2 5 13 15 17 18 19 20 22 24 32 35
p = 41 ; 6 7 11 12 13 15 17 19 22 24 26 28 29 30 34 35
p = 43 ; 3 5 12 18 19 20 26 28 29 30 33 34
p = 47 ; 5 10 11 13 15 19 20 22 23 26 29 30 31 33 35 38 39 40 41 43 44 45
p = 53 ; 2 3 5 8 12 14 18 19 20 21 22 26 27 31 32 33 34 35 39 41 45 48 50 51
p = 59 ; 2 6 8 10 11 13 14 18 23 24 30 31 32 33 34 37 38 39 40 42 43 44 47 50 52 54 55 56
p = 61 ; 2 6 7 10 17 18 26 30 31 35 43 44 51 54 55 59
p = 67 ; 2 7 11 12 13 18 20 28 31 32 34 41 44 46 48 50 51 57 61 63
p = 71 ; 7 11 13 21 22 28 31 33 35 42 44 47 52 53 55 56 59 61 62 63 65 67 68 69
p = 73 ; 5 11 13 14 15 20 26 28 29 31 33 34 39 40 42 44 45 47 53 58 59 60 62 68
p = 79 ; 3 6 7 28 29 30 34 35 37 39 43 47 48 53 54 59 60 63 66 68 70 74 75 77
p = 83 ; 2 5 6 8 13 14 15 18 19 20 22 24 32 34 35 39 42 43 45 46 47 50 52 53 54 55 56 57 58 60 62 66 67 71 72 73 74 76 79 80
p = 89 ; 3 6 7 13 14 15 19 23 24 26 27 28 29 30 31 33 35 38 41 43 46 48 51 54 56 58 59 60 61 62 63 65 66 70 74 75 76 82 83 86
p = 97 ; 5 7 10 13 14 15 17 21 23 26 29 37 38 39 40 41 56 57 58 59 60 68 71 74 76 80 82 83 84 87 90 92　」

*原始根がちょっぴり身近になったような気がする…^^

シャインマスカット☆

これ大粒で皮ごと食べれて種もなく甘くて美味い♪

果肉もしっかりしてて凍らしたらジェリーとしてもいいような ^^

味覚の秋〜ですわ☆

https://ja.wikipedia.org/wiki/シャインマスカット より Orz〜

「独立行政法人農業技術研究機構果樹研究所で育成され、2006年に品種登録された。

マスカット・オブ・アレキサンドリアは食味・食感が良いぶどうだが、雨の多い日本の気候には適しておらず、栽培にはガラス温室等の施設が必要であった。病害に強く、日本の気候にも耐えられるアメリカブドウは噛み切りにくい触感で、一般的にヨーロッパブドウに比べ食味が劣るとされる。またフォクシー香という独特の香りがある。

これらの欠点を改良すべく、アメリカブドウの中でも糖度の高いスチューベンとマスカット・オブ・アレキサンドリアの交雑を行い、安芸津21号が誕生した。この安芸津21号はマスカット・オブ・アレキサンドリアに似た肉質を持ち、やや大粒であったが、マスカット香とフォクシー香が混ざった、あまりよくない香りを持っていた。そこで、山梨県の植原葡萄研究所にて誕生した「品質、食味は最高ですが、果皮の汚れがひどく諦めた品種」である大粒のヨーロッパブドウである白南を交雑し、マスカット香のみを持つ本品種が誕生した。」

*フォクシー臭ってなんだ？

http://kanitoneko.exblog.jp/7916993 より 引用 Orz〜

「おそらくワインを愛飲している人の中には、フォクシー・フレイバー(foxy flavor)の語源について同胞といくつかの説を交えて語った経験があるのではないだろうか。日本語で孤臭(こしゅう)と訳されるこのフォクシー・フレイバー、・・・ごく最近の科学論文のタイトルでもFox Grapeと書いてから括弧して、Vitis labruscaと表記する人も少なくない。てっきり、Foxy Flavorが発見されたから、ラブラスカをFox Grapeと呼ぶようになったのかと思っていたら、上述の理由から、「Fox Grape ありき」であるようだ。」

*あらびっくり...狐の香りじゃなかったわけだ ^^;

そもそも狐の香りってもの自体知らず…^^;;

おはぎ☆

肝腎のお月様を観るのを忘れてたり…^^;;

きのうのお裾分けの頂き物=棚からぼた餅 ♪

賞味期限１日!!

毎日作られてるらしい ^^

懐かしのレトロスィーツ☆

きな粉も餡子(あんこ)もどちらも甲乙付け難し!!

きな粉の方は中に餡子が入ってるから一度で二度美味しいとのこと ^^

知らんかったわ…^^;v

"平方剰余だったら原始根でない"…がわかった☆…^^;v

https://ja.wikipedia.org/wiki/ウィルソンの定理 より Orz〜

「ウィルソンの定理

p が素数ならば (p-1)! ≡ -1 (mod p) が成り立つ。p>1の場合、逆も成り立つ。

証明

p = 2 の場合は成り立つので、以下pは奇素数とする。pは素数だから法pに関する原始根aが存在する。このとき、フェルマーの小定理より、

aは原始根だから、a¹, a², … ,a^p-1(≡1)はそれぞれpを法として還元すると、1, 2, … ,p-1の並べ替えである。よって、

となる。一方、

が成り立つ。b=a^p(p-1)/2とおくと、b² ≡ 1 (mod p) だからb ≡ ±1 (mod p) である。示したいのはb ≡ -1 (mod p) なのでb ≡ 1 (mod p) と仮定して矛盾を導く。aは原始根だから、フェルマーの小定理より、p(p-1)/2はp-1で割り切れる。ゆえにp/2は整数となるが、これはpが奇数であることに反する。Q.E.D.」

aを原始根に限定する理由がよくわからなかったんだけど…原始根でないときは…p-1以下で循環してしまうから、1〜(p-1) のすべての剰余が現れないからなのね ^^

http://unnikki.web.fc2.com/numbers/abcdefg2.html より 引用 Orz〜

「原始根の一覧

pを素数として、法 pのもとで(p-1)乗してはじめて1になる数を原始根といいます。

たとえば法11のもとで2は10乗しないと1にならないので(2¹⁰=1024=11×93+1)2は法11のもとでの原始根です。しかし法7のもとでは、2³=7+1と、2^7-1より小さいべき乗で1となってしまうので、2は法7のもとで原始根ではありません。法が pのとき原始根は（1,2,..., pのなかに）  φ( φ( p)) =  φ( p-1) 個存在します。

*たとえば...

φ(6)=φ(2)*φ(3)=(2-1)*(3-1)=2

φ(12)=φ(2^2)*φ(3)=(2^2-2)*(3-1)=4

平方剰余の理論より、「 p≡±1 mod 8」⇔「2は法 pのもとで平方剰余である」⇒「2は法pのもとで原始根でない」ことがいえます。」

画像：https://ja.wikipedia.org/wiki/アドリアン＝マリ・ルジャンドル より Orz〜

↑

ルジャンドルとは別人の肖像画でしたのねぇ ^^;

「2005年までに凡そ2世紀もの間、ルジャンドルの肖像画はフランスの政治家であるルイ・ルジャンドルの肖像画と間違われていた。 単純にルイ・ルジャンドルの肖像画に"ルジャンドル"と書かれてあったものを政治家のルジャンドルではなく数学者のルジャンドルであると判断してしまったのが誤りの原因とされている。」

↓

こっちも本物かどうかなんてどうしてわかったんだろ…^^;…?

*x^2-2≡0　mod p を満たすxがあるとき、2は法 pの平方剰余と呼ばれる。

平方剰余の第2補充法則:

左辺(m /p )はルジャンドル記号で、

mが平方剰余のとき1, そうでないとき-1、割り切れるとき 0

の右辺=1

つまり、2は 法 p (p≡±1　mod 8)　の平方剰余…

まではわかるんだけど…

「2は法 pのもとで原始根でない」に今のわたしには結びつけられない…^^;…?

!! 解☆↓☆決 !!

・鍵コメT様からのもの Orz〜

2≡a^2 (mod p)であれば，a^(p-1)≡1 (mod p)から2^((p-1)/2)≡1 (mod p).
これより，2は原始根ではありません．

*おおっ!! ☆ 

お陰さまで了解できましたぁ♪ 〜m(_ _)m〜v

9816：下二桁に99を持つフィボナッチ数...

問題9816・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20150305

より 引用 Orz〜

フィボナッチ数 1, 1, 2, 3, …のうち，
下２桁が９９の項は存在するか？
また，下８桁に９が並ぶことはありえるか？

解答

・わたしの…

というか、以下のサイトの事実から99を持つものの存在を調べてみました…^^;v

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1249219882 より 引用 Orz〜

「下2桁をmod4で考えれば

01,01,02,03,01,00,・・・
の周期6となります．
同様にmod25で考えれば
01,01,02,03,05,08,13,21,09,05,14,19,08,02,10,12,22,09,06,15,21,11,07,18,00,
18,18・・・
と続きます．18^2≡-1(mod25)ですので，51番目からが24,24,・・・と続き，101番目からが01,01・・・と続きますので周期が100となります．
ですからフィボナッチ数列をmod100で見た，下2桁の循環は6と100の最小公倍数である300で循環します．

k≧3であれば，下k桁の周期は1.5×10^kになります．」

つまり...

99/4=24…3

so…6m+4

51,52ー151,152ー251,252

52/6=8…4

152/6=25…2

252/6=42…0

あるとすると、52番目

じっさいに、

http://www.suguru.jp/Fibonacci/Fib100.html (参照Orz〜)の

『１００番目までのフィボナッチ数列』の表から、

F(52)=32951280099　♪

but...下8桁に9が並ぶ数があるかどうかは...俄にわからない…^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

下8桁がすべて9となることはあります．
ポイントは，
・フィボナッチ数列の各項をある自然数で割った余りは循環すること
・すると，十分先の方に，下8桁が00000001である2項が連続すること
にあり，00000001が2つ続く項からさかのぼっていけば，
99999999がすぐ前に見つかることになります．

*01,01が周期的に出現することがわかっており、どんな数でも周期的に余りが出現する(この証明は措いておいて ^^;)ことから上のことは言えますね☆

but...すべての数が現れることがすぐ言えないのは、

たとえば、下二桁が300周期でも00〜99の100個…100*99=9900の周期ならあらゆる数がでて来るけど300では…16*17=272, 17*18=306 だから…100個出現しなくても周期にできそうだからなのよねぇ…?...