アットランダム≒ブリコラージュ

9697：3,5,8Lから、0,4,4Lを作る…パズル ^^

問題9697(友人問)

3L、5L、8Lの水の入る容器があり、いま8Lの容器に水が満たされている。

この3つの容器を使って、5Lと8Lの容器にそれぞれ水が4Lずつ残るようにするには、どのようにすればよいか。

水を移動させるときは、注ぎ出す方の容器をカラにするか、受け取る方の容器を満杯にしなければいけない。

解答

・わたしの…

ま、試行錯誤のようなものです…^^;

3,5,8 L

0 0 8

3 0 5

0 3 5

3 3 2

1 5 2

1 0 7

0 1 7

3 1 4

0 4 4

めでたしめでたし ^^

必ずこういう操作が可能であることはユークリッドの互除法とかでわかるのか知らん…?

(赤字訂正…鍵コメT様ご指摘グラッチェ Orz〜)

・鍵コメT様からの解説コメント頂戴しました♪

3,5は互いに素であることから，3x-5y=4は自然数解をもちます．
実際，3*3-5*1=4です．
これを用いて，3L,5Lの容器の使い方を，
「3Lには8Lから移し，5Lは8Lに移す」と固定すると，
スモークマンさんの解ができあがります．つまり，
3Lに移すこと3回，5Lから戻すこと1回で，3L,5Lの水量の合計が4となるわけです．

5x-3y=4の自然数解(x,y)=(2,2)を用いれば，別解ができます．
(3Lの内容量,5Lの内容量,8Lの内容量)と表すことにして，
(0,0,8)→(0,5,3)→(3,2,3)→(0,2,6)→(2,0,6)→(2,5,1)→(3,4,1)→(0,4,4).

*たしかに意味は同値になりますね☆

たとえば、3,7,10Lで、5Lずつを残したいなら…

3x-7y=5

(x,y)=(4,1)

3,7,10L

0 0 10

3 0 7

0 3 7

3 3 4

0 6 4

3 6 1

2 7 1

2 0 8

0 2 8

3 2 5

0 5 5

7x-3y=5

(x,y)=(2,3)

3,7,10L

0 0 10

0 7 3

3 4 3

0 4 6

3 1 6

0 1 9

1 0 9

1 7 2

3 5 2

0 5 5

これも、あとの方が手順が少ない…^^;…?

・友人からの解答コピーが届きました…

*これは面白い発想ね♪

9696：格子点の色塗り…クイズ ^^

問題9696・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20150321 より 引用 Orz〜

平面上の有限個の格子点を赤か白に塗り分けるとき，
ｘ軸またはｙ軸に平行などんな直線をとっても，
その直線上の白点と赤点の個数差を１以下にできるか？

（IMO・1986年）

解答

・わたしの…

これは気付けました ^^

長方形の対角線１本だけたとえば白に、残りを赤にすれば…

個数差は０にでき、

対角線２本だけ白に、残りを赤にすれば…

個数差は<=1　にできますね ^^

9695：写像...

問題9695・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20150321 より 引用 Orz〜

非負整数の全体から非負整数の全体への写像ｆについて，
ｆ(ｆ(ｘ))＝ｘ＋1987
を満たすものは存在しないことを示せ。

（1987年・IMO）

解答

・わたしの…

f(x)>=0

f(f(x))>=0

しかるに…

右辺>=1987

これは矛盾…

ってな当たり前のようなことでいいのか知らん ^^;…?

9694：ケーキとプリン…クイズ ^^

問題9694・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

ケーキとプリンを何個かずつ買います。

ケーキをプリンより多く買うと、代金は全部で ９６０円になります。

ケーキとプリンの個数を逆にして買うと、代金は全部で ７２０円になります。

ケーキとプリン１個ずつの値段の合計が３３６円のとき、

ケーキ１個の値段として考えられるものをすべて答えなさい。

ただし、プリンを少なくとも１個以上買うものとします。

（桐朋中学　2012年）

解答

・わたしの…

960-720=240

m*(x-y)=240・・・x-y=240, 120, 80, 60, 48, 40, 30, 24, 20, 12, 10, 8, 6, 2

x+y=336

ケーキ=x, プリン=y

x=336/2+120=168+120=288

 =168+60=228

 =168+40=208

 =168+30=198

 =168+24=192

 =168+20=188

 =168+15=183

 =168+12=180

 =168+10=178

 =168+6=174

 =168+5=173

 =168+4=172

 =168+3=171

 =168+1=169

以上、14種類もあるんですねぇ ^^

  

↑

得意の勝手読み…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

そんなにあるはずはないです．

ケーキをプリンより多く買い，その後逆の個数を買い足すと，
ケーキとプリンは同数となり，代金は合計1680円．
このとき，ケーキとプリンは1680/336=5(個)ずつであり，
初めに買ったプリンの個数は1または2個．
1個のとき，ケーキは4個であり，ケーキ3個は960-336=624(円)となって，
ケーキは1個208円．
2個のとき，ケーキは3個であり，ケーキ1個は960-336*2=288(円)．

*たしかにその通りでしたわ ^^;;...

9693：台形内の△…パズル ^^

問題9693・・・http://chosen-sansu.tokeruka.net/?p=6046 より 引用 Orz〜

台形ABCDの対角線BD上に、点Eを、ADとECが平行になるようにとりました。三角形「あ」と三角形「い」の面積を求めなさい。

（女子学院中学　２０１２年）

解答

・わたしの…

15-11=4

11*(4/15)*21*(1/2)=22*7/5=154/5=30.8 cm^2・・・い

あ・・・15*21*(11/15)*(1/2)=21*11/2=231/2=115.5 cm^2

ね ^^