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9702：饅頭の糖分問題…^^

昨日、診療明野西の空にどでかい/神々しい虹の御柱が♪

問題9702・・・http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/352_pzl.htm より引用 Orz～

半径１の半球を底面と平行な平面ｙ＝ａで切って，体積を２等分するにはどこで切ればよいか．

解答

・わたしの…

半円の面積=2π

1-a

2π(1-a)

(4/3)*π*(2π(1-a)/4π)-(1/3)*a(1-a^2)*π=(4/3)*(1/4)π

2(1-a)-a(1-a^2)=1

a^3-3a+1=0

a=0.34730…

*上記サイトでは…

「（Ａ）y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる回転体の体積は

　　V[y]=π∫y^2dx

で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　V[y]=π∫(1-x^2)dx

　　π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3

が球全体の１／４になればよい．

　　π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3=π/3

　　a^3-3a+1=0

　　a=0.3472963553=2cos10　」

と積分で求められてますが…

最後の、2cos10が不明…?

・鍵コメT様からのもの Orz～

方程式a^3-3a+1=0自体は，異なる3つの実数解をもち，
その解はすべて-2<x<2を満たします．
x=2cosθ (0°<θ<180°)とおけば，cos3θ=-1/2となって，
0°<3θ<540°から，3θ=120°,240°,480°.
これより，θ=40°,80°,160°.
a=2cos40°,2cos80°,2cos160°.
ただし，aに範囲指定0<a<1があるので，0<cosθ<1/2であり，
60°<θ<90°の範囲で考えることになり，θ=80°となります．
よって，この問題では，a=2cos80°だけが解です．
sinでやる場合も同じことで，a=2sinθとおく際，
厳密には「0°<θ<30°」を付けておくべきものです．

cos10は単なる間違いでしょう．

a^3-3a+1=0より，
4(a/2)^3-3(a/2)=-1/2.
a/2=sinθとおけば，左辺は-sin3θとなるから，
3θ=30°,θ=10°となり，
a=2sin10°と表されます．

*チェビシェフの多項式ってのを思い出したんだけど、式変形に思い至らず…^^;

さすがに巧いものでsね♪

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9701：実数解を持つときのkの範囲...

ドングリの子どもかな ^^

問題9701(友人問)

x,yの連立方程式y=k(x^2-x)、x=k(y^2-y)　がx≠yである実数解をもつような

実数ｋの範囲を求めよ。

(大数　論証力　p96)

解答

・わたしの…

x*y=k^2*x*y*(x-1)(y-1)

xかyが0だったら、x=y=0 になるので、どちらも 0ではなく、kも0でない...

両辺を x*y で割る…

k^2=1/((x-1)(y-1)) >0

これは、1/(xy)=0 のグラフを右と上に+1移動したものなので、

k^2>1

結局、

1<k

1>k>0, 0>k

であればいいですよね ^^

↑

同値の考え方からはずれてる…^^; Orz…

↓

・鍵コメ様からのもの Orz～

連立方程式の2式を掛けた式が成り立っても，連立方程式の解とは限りません．
足したものと引いたものがともに成り立てば，連立方程式の解と保証されます．

連立方程式の2式を辺々足して，
x+y=k(x^2+y^2-x-y).
x+y=k((x+y)^2-2xy-(x+y)).…[1]
辺々引いて，
y-x=k(x^2-y^2-x+y).
(x-y)(k(x+y)-k+1)=0.…[2]
x≠yのとき，これはk(x+y)=k-1 と同値であり，
k=0は不適で，x+y=1-1/k.…[2]
x≠yの下で，連立方程式は[1]かつ[2]と同値である．

[1]に[2]を代入して，
1-1/k=k((1-1/k)^2-2xy-(1-1/k)).
(1-1/k)/k-(1-1/k)^2+(1-1/k)=-2xy.
xy=-1/2*(1-1/k)(1/k-1+1/k+1)=1/k^2-1/k.

よって条件は，x+y=1-1/k,xy=1/k^2-1/kを満たす実数x,y(x≠y)が存在すること．
t^2-(1-1/k)t+(1/k^2-1/k)=0が異なる2つの実数解をもつことから，
(1-1/k)^2-4(1/k^2-1/k)>0.
1+2/k-3/k^2>0.
k^2+2k-3>0.
k<-3,1<k.

*懇切丁寧なる解説をグラッチェ～m(_ _)m～v

・友人から届いた解答…

*熟読玩味ぃ～^^;

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9700：ゾロ目の倍数...

こういうのも、芽吹いてるって言うのかいなぁ…^^;…?

問題9700・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141220

より引用 Orz～

1998の倍数でゾロ目の最小のものは？

解答

・わたしの…

mmm…mm=m*111…11

1998=2*3^3*37

111=3*37

666 が9の倍数倍あればいい…

つまり…

666,666,666,666,666,666,666,666,666

でいいはずね ^^

↑

お粗末でした... ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

666はすでに3^2で割り切れるので，
これを3の倍数個連ねれば，3^3の倍数となります．
最小のものは，666666666 (6が9個)ですね．
ちなみに，2番目以降は順に，
「6が18個」，「2が27個」，「4が27個」，「6が27個」，「8が27個」，
「6が36個」，「6が45個」，…
と続きます．

*次は、2が54個、4が54個、6が54個、8が5４個、6が63個、6が72個、2が81個、...

小さいものから３番目のものは？　なんて問題だった方が面白かったかもしれませんね☆

(赤字が抜けてました…^^; 鍵コメT様ご指摘グラッチェ～m(_ _)m～)

の最大公約数はいくつか？

ただし、n>=2 とする。

解答

・わたしの…

7^n-6^n-1^n=6*1の倍数

7^n-5^n-2^n=5*2の倍数

7^n-4^n-3^n=4*3の倍数

so…

6*5*2*4*3=720　が最大公約数

ってなことを想定してました ^^

解答

・わたしの…

当たり前のこととして使って来てたけど…^^;

k*(k+1)*(k+2)*…*(k+(n-1))

mod 2～mod n で考えると…(n-1)種類

項の個数がn種類なので、

必ず、(n-1)種類の2～nで割り切れるものがある…

つまり…

k+0

k+1

k+2

…

k+(n-1)

余りはすべて異なるので…nでもこの中にはnで割り切れるものがある...

so…n! で割りきれる ^^

アットランダム≒ブリコラージュ

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