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図のような縦３行・横３列の正方形のマスに数字が書かれています。
この中から縦２行・横２列の正方形のマスを選び、
その中のすべての数字を１ずつ増やす操作をＡ、
縦１行・横３列の長方形のマスを選び、
その中のすべての数字を１ずつ減らす操作をＢとします。
すべてのマスには、最初は０が書かれています。
（１）操作Ａだけを何回行うと、マスの数字は図１のようになりますか。
（２）操作Ａを何回、操作Ｂを何回行うと、マスの数字は図２のようになりますか。
（２０１６年 慶應義塾中等部）
解答
・わたしの…
5+9+4+12+19+7+7+10+3=76
1回の操作で+4なので…
76/4=19回
5+8+0+12+24+11+1+10+5=76
76=4A-3B
4(A-19)=3B
B=4 ,A=22
B=8, A=25
B=12, A=28
…
4(a+b+c+d)-3B=4A-3(x+y+z)=76
b=z
c=x+1
a=x+5
d=z+5
4(2x+2z+11)-3(x+y+z)=5x-3y+5z+44=76
5(x+z)-3y=32
(2x+2z+11)-y=24
2(x+y)-y=13
(x+y)=7, y=1
so…
4A-3(x+y+z)=4A-3*8=76
A=100/4=25回, B=8回
ね ^^
もっと簡単に出せないか知らん ^^;…?
・鍵コメT様のスマートな解法 Orz〜☆
(1) 最も早い方法は，「操作Aは中央を1だけ増やすから，19回．」ですが，
他にも，2行目の左右の和，2列目の上下の和，四隅の和に着目してもよいです． (2) 操作Aは中央を1だけ増やし，2行目の左右の和も1だけ増やす． 操作Bを2行目に行うと，中央は1，2行目の左右の和は2だけ減るから， 操作Aは25回，2行目への操作Bは1回． 1,3行目への操作Bは2列目の上下の和を1だけ減らすから，その回数は25-18=7で， 操作Bは全部で8回． *(1)はお気に入り♪
(2)は…すぐわからず…^^;
・鍵コメT様からの別解 Orz〜
(別解)
操作Aは，左右の列6マスの合計Xを2増やし，中央の列3マスの合計Yも2増やす． 操作Bは，左右の列6マスの合計Xを2減らし，中央の列3マスの合計Yを1減らす． よって，操作AによってY-Xは変化せず，これが操作Bの回数． 図2では，X=34,Y=42より，操作Bは42-34=8(回)． 操作Bをキャンセルすれば，X,Yは50となるはずだから，操作Aは25回． *これは着いていけそ ^^♪
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コメント（2）
