アットランダム≒ブリコラージュ

10718：シェルピンスキーの△だっけ…^^

これどこで見つけたのか思い出せない…^^;;

問題10718・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

今日は頭回らん…^^;

頭の体操にいいですねぇ☆

10717：算額ぅ〜^^;

問題10717・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html より Orz〜

　２個の半円と２個の円を、A，B，P，Q を 中心として、図のように接するように描きます。

　PA⊥AB で、Aを中心とする半円の面積が 18 であるとき、円P，円Q の 面積は？

　図は正確ではありません。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36651146.html より Orz〜

[解答1]

　A，B，P，Q を 中心とする半円や円の半径を a，z，x，y とし、

　直線AB上に QH⊥AB を満たす点Hをとると、

　AP＝x＋a，AB＝z−a，BQ＝z−y，PQ＝x＋y，BP＝z−x，AQ＝y＋a，QH＝y です。

　AH²＝AQ²−QH²＝PQ²−(AP−QH)² より、

　AQ²−PQ²＝QH²−(AP−QH)² 、(AQ＋PQ)(AQ−PQ)＝AP(2QH−AP) 、

　(x＋2y＋a)(a−x)＝(x＋a)(2y−x−a) 、2y(a−x)＝(x＋a)(2y−2a) 、y(a−x)＝(x＋a)(y−a) 、

　ay−xy＝xy−ax＋ay−a² 、2xy＝a(x＋a) ……(1) です。

　AP²＝BP²−AB²＝(BP＋AB)(BP−AB) より、

　(x＋a)²＝(2z−x−a)(a−x) 、(x＋a)²＋(x＋a)(a−x)＝2z(a−x) 、

　a(x＋a)＝z(a−x) ……(2) 、ax＋a²＝az−xz 、x(z＋a)＝a(z−a) ……(3) です。

　△ABQ は AB＝z−a を底辺とすれば、高さは QH＝y で、

　３辺が z−a，z−y，y＋a で、(z−a＋z−y＋y＋a)/2＝z だから、

　その面積は、(z−a)y/2＝√｛zay(z−y−a)｝ 、(z−a)√y＝2√｛za(z−y−a)｝ 、

　(z−a)²y＝4za(z−y−a) 、(z−a)²y＋4azy＝4za(z−a) 、(z＋a)²y＝4za(z−a) 、

　(3)を代入して (z＋a)²y＝4zx(z＋a) 、(z＋a)y＝4zx 、ay＝z(4x−y) 、ay(a−x)＝z(a−x)(4x−y) 、

　(2)を代入して ay(a−x)＝a(x＋a)(4x−y) 、y(a−x)＝(x＋a)(4x−y) 、ay(a−x)＝a(x＋a)(4x−y) 、

　(1)を代入して ay(a−x)＝2xy(4x−y) 、a(a−x)＝2x(4x−y) 、a(a−x)＝8x²−2xy 、

　(1)を代入して a(a−x)＝8x²−a(x＋a) 、a²−ax＝8x²−ax−a² 、

　x²＝a²/4 、x＝a/2 、(1)に代入して、ay＝a(a/2＋a) 、y＝3a/2 です。

　πa²/2＝18 だから、πa²＝36 なので、

　円Pの面積は πx²＝π(a/2)²＝πa²/4＝36/4＝9 、

　円Pの面積は πy²＝π(3a/2)²＝9πa²/4＝9･36/4＝81 です。

　なお、z＝3a になり、四角形ABQPは長方形になりますので、

　半径が 6 の円に 半径が 3，2，1 の円が図のように内接させることができます。　　


[解答2] 大げさですが反転を使うと

　半円A，半円Bの左端を O(0，0)，直径をｘ軸として、

　中心が原点で半径が１の円に関する反転を考えます。

　円Bの反転が直線 x＝s−r とすれば、半円Bの右端は(1/(s−r)，0)，直径は 1/(s−r) 、

　円Aの反転が直線 x＝s＋r とすれば、半円Aの右端は(1/(s＋r)，0)，直径は 1/(s＋r) です。

　また、円P，円Qの反転はこの２直線に接するので、中心は x＝s 上にあり、半径は r です。

　更に、円Qはｘ軸に接するので、その反転もｘ軸と接し、中心は(s，r)、

　円P，円Qの反転は外接するので、円Pの反転の中心は(s，3r)です。

　よって、円Pの直径は、1/√｛(s²＋9r²)−r｝−1/√｛(s²＋9r²)＋r｝＝2r/(s²＋8r²) 、

　よって、円Qの直径は、1/√｛(s²＋r²)−r｝−1/√｛(s²＋r²)＋r｝＝2r/s² です。

　OPの傾きは、｛1/(s＋r)＋2r/(s²＋8r²)｝/｛1/(s＋r)｝＝1＋2r(s＋r)/(s²＋8r²) 、

　これが 3r/s に等しいので、

　1＋2r(s＋r)/(s²＋8r²)＝3r/s 、(s²＋8r²)s＋2rs(s＋r)＝3r(s²＋8r²) 、s³−rs²＋10r²s−24r³＝0 、

　(s−2r)(s²＋rs＋12r²)＝0 、s＝2r になります。

　半円A，半円B，円P，円Qの直径は順に、

　1/(s＋r)＝1/(3r) ，1/(s−r)＝1/r ，2r/(s²＋8r²)＝1/(6r) ，2r/s²＝1/(2r) 、

　その比は 1/(3r)：1/r：1/(6r)：1/(2r)＝2：6：1：3 、面積比は 4/2：36/2：1：9＝2：18：1：9 、

　半円Aの面積が 18 だから 9倍して面積は 18，162，9，81 です。

*[解答1]みたいなんだろうけど…

式作っても手計算じゃ無理…^^; Orz〜

半円Aの半径：6
半円Bの半径：x
円Pの半径：z
円Qの半径：y
で、立式して計算させちゃいましたぁ ^^; Orz〜

x-6+√(x^2-2xy)=√(36+12y)
(y-3)z=18
2z=(x^2-12y-72)/(x+6)

x=18,y=9,z=3
so…
(円Pの面積,円Qの面積)=(3^2,9^2)=(9,81)

*でもどうしてこんな奇麗な紋様が現れるんだろう♪

朝飯食べても食べずとも腹が減るのは何故ですのん？…^^;

早起きできたときは、喫茶店でモーニング食べちゃうんだけど…

お昼にゃ腹減っちゃう...朝飯抜いてるときと変わらないっていうか…

余計減るような気がしちゃうのって何故？

朝食抜きは脳卒中が多いってデータは...朝水分をしっかり摂ったグループとの比較がなされてんだろうか知らん？...単なる脱水で午前中に昇圧ホルモンで生じる血管の収縮と相まって起こるだけじゃないのかとわたしゃ思ってるんだけどねぇ…^^;…Orz