アットランダム≒ブリコラージュ

シムソンの定理☆

ほげさんの「みっちの隠れ家」でこんな定理があることを知りました♪

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ptolemaios/simson.htm より 引用 Orz〜

「シムソンの定理　　（正しくは、ウォーレスの定理といわれるらしい！）

△ＡＢＣの外接円周上の点Ｐから

ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ　に下ろした垂線の足をＤ、Ｅ、Ｆ とする。

このとき、３点 Ｄ、Ｅ、Ｆ は１直線上にある。

この直線のことを、シムソン線という。

（証明）　

４点 Ｐ、Ｆ、Ａ、Ｅ は、同一円周上にあるので、　∠ＰＦＥ＝∠ＰＡＥ

同様に、四角形ＰＢＣＡは円に内接するので、　∠ＰＡＥ＝∠ＰＢＤ

四角形ＰＢＤＦは円に内接するので、　∠ＰＢＤ＋∠ＰＦＤ＝１８０°

よって、　∠ＰＦＥ＋∠ＰＦＤ＝１８０°となり、３点 Ｄ、Ｅ、Ｆ は１直線上にある。　（証終 」

図から見ると…このような点は…2個 or 1個(接点)存在するわけね ^^

デザルグの定理、パスカルの定理のあたり面白そう☆

10975：台形内の平行四辺形と△...

問題10975・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図で，四角形ABCDは台形，四角形ABEDは平行四辺形です。

また，台形ABCDの面積は28ｃ㎡，三角形ABCの面積は22ｃ㎡です。

このとき，DFは何cmですか。

（城北中学　２０１２年）

解答

・わたしの…

10974：直角三角形内の正方形...

問題10974・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のような直角三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上に２点Ｇ、Ｈをとり、

さらに 辺ＢＣ、辺ＣＡ上にそれぞれ点Ｉ、 点Ｊをとって、正方形ＧＨＩＪをつく ります。

正方形ＧＨＩＪの面積は三角形ＪＩＣの面積の何倍ですか。

（２０１５年　渋谷教育学園幕張中学）

解答

・わたしの…

↑

いろいろミスってましたわ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

x^2=(15^2)/49*34/49は正しいと思いますが，
x^2/(15/2)の計算は変です．
また，問われているのは「三角形JICの何倍か」なので，
求める倍率は，x^2/((15a^2)/2)であり，
(15^2)/49*34/49*2/15/(15/49)^2=68/15となります．

出ましたぁ〜!!!

(何がって？...まったく別次元の発想ね♪)

↓

・たけちゃんさんのAha!!!な解法☆☆☆

正方形GHIJの外側に三角形IJCが付いているので，
これと合同な三角形JGX,GHY,HIZも付けることにすると，
正方形CXYZは三角形IJCの128/15倍となりますね．
ここから三角形IJCの4倍を引いて，
求める倍率は128/15-4=68/15
とすることもできます．

*当然お気に入りぃ〜♪♪

10973：△と垂線と内接円...

問題10973・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36800407.html#36800407 より Orz〜

　△ABCの 頂点A，B，C から 対辺またはその延長におろした垂線の長さが 33，45，55 のとき、

　△ABCの内接円の半径は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36819644.html より Orz〜

[解答1]

　△ABCの辺の長さの比は BC：CA：AB＝1/33：1/45：1/55＝15：11：9＝30：22：18 だから、

　BC＝30k，CA＝22k，AB＝18k とし、△ABCの面積を S，内接円の半径を r とします。

　(30k＋22k＋18k)/2＝35k だから、ヘロンの公式により、

　S＝√｛35k(35k−30k)(35k−22k)(35k−18k)｝＝5k²√1547 になり、

　また、S＝33BC/2＝33･15k 、よって、5k²√1547＝33･15k 、k√1547＝99 です。 

　r＝(5k²√1547)/(35k)＝(k√1547)/7＝99/7 です。


[解答2]

　△ABCの辺の長さを BC＝a，CA＝b，AB＝c，面積を S，内接円の半径を r とし、

　一般化して垂線の長さを x，y，z とすれば、ax＝2S，by＝2S，cz＝2S，(a＋b＋c)r＝2S です。

　よって、2S/r＝a＋b＋c＝2S/x＋2S/y＋2S/z 、1/r＝1/x＋1/y＋1/z になります。

　本問では、1/r＝1/33＋1/45＋1/55＝(15＋11＋9)/(3･3･5･11)＝7/99 、r＝99/7 です。

*奇麗な関係式ですね♪

45c=55b=33a=2S
=(a+b+c)r
a=2S/33
b=2S/55
c=2S/45

1=(1/33+1/55+1/45)*r
r=99/7 

10972：旧跡...長方形の折り紙...

問題10972・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図は、縦１６ｃｍ、横２０ｃｍの長方形の紙を、

ＣＥを折り目として点Ｂが辺ＡＤ上にくるように折り曲げたものです。

ＡＥの長さが６ｃｍであるとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

（２０１６年　郁文館中学）

解答

・わたしの…

さすがに…too easy…^^;

20*(16-(16-6))=120 cm^2

^^