こんにちは、ゲストさん
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∠A＋∠C=180°を示せ。
解答
・上記サイトから Orz〜
方法はいくらでもあると思いますが、
円周角なのですから、AOCが一直線上になるようにCを動かしても、
∠A＋∠Cは一定のまま。∠B'＋∠D'だって一定で、
それぞれ直径が弦だから90°*2=180°
つまり内角の和から360°-180°
・そのむかしのわたしの…
４個の二等辺三角形ができ... 角A+角C=角B+角D=四角形の内角の和180*2/2=180° |
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行ってみたいと思ったのはミーハーなわたしだけじゃない…^^
80個の島と2005個の橋があり、島と島との間は1本の橋で結ばれているか、結ばれていないかのいずれかである。どの島からどの島へも何本か伝って渡ることができる。
橋をいくつか壊して、どの島にかかっている橋の本数も偶数になるようにしたい。 ただし、壊す橋は0本でもよく、橋を壊した結果、ある島からある島へ伝って行けなくなってもよい。 初めの2005本の橋のかかり方それぞれに対し、このような橋の壊し方が何通りあるかを考える際、その最大値を求めよ。 (2005年数学オリンピック予選問題 第12問)
解答
・わたしの…
意味よくわからないんだけど…
ある島からある島に行けなくなってもいいなら...すべての端を壊せば…0本=偶数になるんだけどなぁ…?
1〜80までの島まで橋が渡してあり(79個)
残りの橋2005-79=1926個が1,80にはないとすると…
1-2, 79-80は壊さなければいけない…
そうすると…2,79に橋が余分にかけてなければ…2-3,78-79を壊さなきゃならない…
以後も同じくで…
最終的に、40-41に、1926+1個の橋がかけてある場合があるので…
少なくとも2個の橋を残すなら…
2005-2=2003個が最大？
↑
ウソね ^^;
島と島は多くとも１本の橋でしか結ばれてないのでした...
↓
・再考…
2005/80=401/16=25…1
少なくとも一つの島は奇数本
その１本を壊すと…
結ばれていた相手の島の橋をもう1本壊さなきゃいけない…
と、今度はその相手の島の橋のどれかを壊して行くというドミノ方式…
最後は最初の島に戻る…再び奇数本(77本)
最初の島はすべての島と結ばれていることになる…
so…
最初の島からの橋が0本になるまで繰り返さざるを得なくなるので…
79+77+75+…+1
=20^2
=400本
でいいのかな？
↑
これも嘘っぱちでしたわ…^^;; Orz…
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
「できるだけたくさんの橋を壊す」ではなく，
「できるだけ多くの壊し方があるようにする」です． また，「少なくとも1つの島は奇数本」も誤りです． 例えば，61個の島は，どの2つの間も橋で結ばれ(61C2=1830(本))， 残り19個の島も，どの2つの間も橋で結ばれ(19C2=171(本))， 61個の島のうちの2つ(A,Bとする)と，19個の島のうちの2つ(C,Dとする) の間に，A-C,A-D,B-C,B-Dのように橋で結ばれていれば， はじめの段階で，どの島にも偶数本の橋がかかっています． *なるほど...たしかに…^^;
but…この問題は考え方わからず…ギブ…^^;;
・鍵コメT様からのもの Orz〜
いくつかの島が，すべて間接的には橋で結ばれている状況を考えます．
(例) A-B A-C A-D A-E B-C B-E この例では，すべての島の橋を偶数本にするには，壊す橋は， 「A-B,A-D」「A-D,A-E,B-E」「A-C,A-D,B-C」「すべて」…(*) の4通りが可能です． ここで，C-Eの橋を追加した状況を考えると， 例えば「A-C-E-A」のループができたことになります． (「B-C-E-B」とか「A-B-C-E-A」でもよいです． 1つのループに着目するのがポイントです．) この状況からであれば，すべての島の橋を偶数本にする壊し方は， ・(*)のそれぞれに，C-Eを加えることで得られる4通り および， ・(*)のそれぞれに，A-C,A-Eを加える (ただし，すでにA-CがあるならA-Cを除く．A-Eも同様) ことで得られる4通り の合計8通りとなります． (C-Eを残さない壊し方は，元と同じ，C-Eを残す壊し方も同数．) このように，すべての島が間接的には橋で結ばれている状況からは，
橋を1つ追加すると，壊し方の場合の数は2倍になります． 79本の橋で，すべて間接的には結ぶことができ， そのとき，ループはできていないので， すべての島の橋を偶数本にするには橋をすべて壊すしかなく，1通り． ここから，橋を1本追加するごとに，壊し方は2倍になっていくので， 求める壊し方の数は，2^1926通りですね． (最大値とありますが，必ず2^1926通りとなると思います．) *熟読玩味ぃ〜^^;...
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アイスコーヒー作りの正統法 ^^☆
解答
・わたしの…
フェルマーの定理
x^(p-1)≡1 mod p・・・pは素数
の一般化のオイラーの定理から..
x^φ(p^2)≡1 mod p^2
をながめると…
φ(p^2)=p^2-p=p(p-1) なので…
(x^(p-1))^pは…x^(p-1)≡1 ならば…1が成り立つので…
x^n≡1
において、n=p^2-p であれば成立しますよね…?
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