アットランダム≒ブリコラージュ

11297：整数多項式の積で表せない...

問題11297・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(x^a+…+p(a))(x^b+…+p(b))…(x^z+…+p(z))

の定数項=p(a)*p(b)*…*p(z)=(n!)^2+1

(n!)^2<(n!)^2+1<n!*(n!+1)

n!=α

α^2<α^2+1<α*(α+1)

なので…

α^2+1は2数以上の積に分解できない…

でいいのか知らん ^^

↑

臆面もないウソ…^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Ozr〜

α^2<A<α(α+1)から，Aが2以上の整数の積に分解できないとは言えません．
実際，(6!)^2+1=13*39877です．
例えば次のようにできると思います．

f(x)=g(x)h(x) (g,hは1次以上の整数係数多項式)と表せたとして，
g(x),h(x)の偶数次の項を集めたものをそれぞれG(x^2),H(x^2)とする．
g(x),h(x)はいずれも2n次に満たないから，G(x),H(x)はいずれも高々n-1次式．
ここで，k=1,2,…,nとして，f(ki)=1より，g(ki)h(ki)=1.
g(ki),h(ki)はいずれも，実部，虚部がともに整数となるから，
各kに対して(g(ki),h(ki))=(1,1),(-1,-1),(i,-i),(-i,i)のいずれかであり，
g(ki)とh(ki)の実部は一致するから，G(-k^2)=H(-k^2).
等式G(x)=H(x)は，両辺が高々n-1次式で，
n個の異なる値-1^2,-2^2,…,-n^2に対して成り立つから，恒等式．
以上よりg(0)=h(0)が得られ，f(0)=(n!)^2+1が平方数でないことに矛盾する． 

*流れるような美しい証明ね♪

11296：ディオファントス方程式...

問題11296・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

113x+34y=1

113-3*34=113-102=11

3*113-9*34=33=34-1

10*34-3*113=1

so…

113*(-9)+34*30=3

so...

x=34n-9

y=-119n+30

でいいですよね ^^

11295：整数問…分数式...

実はこの歌しか知らなかったりする…

いったい…

わたしゃ...何してたんだろうか知らん…^^;...

問題11295・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf 

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)

(1)

n^3+1=mn-1のとき...

mn-n^3=n(m-n^2)=2

n=1, m-1=2・・・m=3

n=2, m-4=1・・・m=5

(2)

n+1=mn-1のとき…

n(m-1)=2

n=1,m=3

n=2,m=2

(3)

n^2-n+1=mn-1のとき…

n(m-n+1)=2

n=1,m=2

n=2,m=2

けっきょく…

(m,n)=(1,2), (1,3), (2,2), (2,5)

ですね ^^

↑

外れてた…^^; …Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

これは結構やっかいですが，次のようになると思います．

x,yの最大公約数をg(x,y)と表す．
条件は，「g(n^3+1,mn-1)=mn-1.」
ここで，mとmn-1は互いに素であるから，
g(n^3+1,mn-1)=g(m(n^3+1),mn-1)=g(n^2(mn-1)+n^2+m,mn-1)
=g(n^2+m,mn-1)=g(m(n^2+m),mn-1)=g(n(mn-1)+n+m^2,mn-1)
=g(m^2+n,mn-1)であり，
条件は「g(n^2+m,mn-1)=mn-1」や「g(m^2+n,mn-1)=mn-1」と言い換えられる．
よって，m>nのときは，m<nのときのm,nを入れ替えて得られる．

m=nのとき，g(n^2+n,n^2-1)=n^2-1より，(n+1)g(n,n-1)=(n+1)(n-1).
g(n,n-1)=n-1より，n-1=1であり，n=2.
m<n,m=1のとき，g(n+1,n-1)=n-1より，g(2,n-1)=n-1.
n-1は2の約数となって，n=2,3.
1<m<nのとき，m^2+n≦m(n-1)+n=mn+n-m≦mn+(m-1)n-m=2mn-m-n<2(mn-1)より，
mn-1の倍数m^2+nは，mn-1の1倍に限り，
m^2+n=mn-1.
(m-1)n=m^2+1=(m+1)(m-1)+2.
(m-1)(n-m-1)=2.
(m,n)=(2,5),(3,5).

以上より，m<nの場合も含めて，
(m,n)=(2,2),(1,2),(1,3),(2,5),(3,5),(2,1),(3,1),(5,2),(5,3).

*ぎょぇ〜…^^;

あとでゆっくり賞味…Orz〜

11294：双子素数の間の数...

問題11294・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

双子素数は奇数…

その間は偶数

連続する3個の数のいずれかは3の倍数…

前後が奇素数なら...その間の数はが3の倍数…

so…

2*3=6の倍数あるね ^^

11293：約数の個数...

問題11293・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

45=3^2*5

n=3^a*5^b・・・a>=2, b>=1

3^(a-2)*5^(b-1)<=(a+1)(b+1)

(a,b)=(2,1), (2,2), (3,1), 

so…

3^3*5=135 がMax ね ^^

↑

まだありました…^^; …Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(c)の条件は，「正の約数」でしょうか．少しあいまいです．

正の約数として，(a,b)=(4,1)も解です．
(3^4)*5=405が最大ですね．(正の約数は10個，405/45=9.) 

*でしたわ…^^;