アットランダム≒ブリコラージュ

11335：自然数の文化遺跡…^^

問題11335・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf ;

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

mn=m(N-m)>=N

-(m-N/2)^2>=N-(N/2)^2=(4N-N^2)/4

0<=(m-N/2)^2<=(N^2-4N)/4

so…

0<=N(N-4)

4<=N

(2)

a1+a2+…+ak>=k*(a1*a2*…*ak)^(1/k)

42^k>=k^k*(a1*a2*…*ak)=k^k*P

Pの最大値は…

等号のときで…

a1=a2=…=ak

(42/k)^k

42=2*3*7

42^1

21^2

14^3

6^7=279936

7^6=117649

3^14=4782969

2^21=2097152

けっきょく…

Max(P)=3^14

ね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

結果は正しいですが，(2) の過程は少し問題点があります．

仮に42ではなく40を分解して積をとるとすれば，
最大値はどうなるでしょうか．

*わたしの…

有名な問題ではありますが...
(n/x)^x
n/x=y…x=n/y
y^(n/y)
y^(1/y) の最大値…
(1/y)logyの最大値…
-logy/y^2+1/y^2=(1-logy)/y^2
1=logy…y=e のときがMax…e^(n/e)
so…
40=3*13+1
3^12*2^2=2125764になるのでしょうね ^^;
> 2^20=1048576

和が40のときの最大値はその通りですね．
分割自体は，2*2+3*12,3*12+4の2通りが最大値を与え，
どちらでも同じ積が出てきます．

つまり，整数に分割しなければいけないので，
「a1=a2=…=ak」とすることはできません．
例えば，
「2,3以外は使わず，2は高々2個までとする分割が最大値を与える」
とするのが有力な方法でしょう．

なお，本質的に同じ問題を探してみたところ，問題455が見つかりました．

*自然数の分解積のMaxは...上のように分解されるときになるのですが…

たぶん有名な定理?なんだと覚えてました♪

11334：体積比…クイズ...

問題11334・・・http://chosen-sansu.tokeruka.net/?p=6723 より 引用 Orz〜

すべての辺の長さが１ｃｍの三角すいＡ があります。
図のように、すべての辺の長さが２ｃｍの三角すいから、
Ａと同じ形の立体を４つ切り取ってできる立体をＢとします。

このとき、立体Ｂの体積は、三角すいＡ の体積の何倍になりますか？

（海城中学　2011年　改題）

解答

・わたしの…

大きい体積は2^3

小さいものは4個あるので…

2^3-4=4倍

ね ^^

11333：求長...長方形で正方形…クイズ...

問題11333・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

たての長さと横の長さの比が１：２である

大きさの異なる３つの長方形Ａ、Ｂ、Ｃと、

正方形Ｄ と、１つの辺の長さが１cmである長方形Ｅを、

隙間なく並べると図のような正方形ができました。

正方形Ｄの１辺の長さは何ｃｍになりますか？

（２０１６年　渋谷教育学園渋谷中学）

解答

・わたしの…

A:1-2

B:3/2-3

C:(2+3/2)/2-(2+3/2)

Eの縦：(1+2+(2+3/2)/2)*t=(2+(3/2))*t+1

(3+7/4-2-3/2)*t=1

1+1/4=5/4

t=4/5

so…

D:2t=8/5=1.6 cm

ね ^^

11332：カード問…クイズ...

問題11332・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

１７枚のカードがあります。はじめに、これらのカードの一方の面に

１から１７までの整数を1つずつ書きました。

次に、他方の面に画面の数の和が１８になるように整数を書きました。

（１） カードを何枚か取り出し、机の上に並べました。

見えている面の数の和は９３でした。

並べたカードをすべて裏返したところ、見えている面の数の和は１７７でした。

何枚のカードを取り出しましたか。

（２）カードを３枚取り出し、机の上に横一列に並べました。

見えている面の数の和は２３でした。

左端のカードを裏返したところ、見えている面の数の和は２７でした。

続けて、右端のカードを裏返したところ、見えている面の数の和は４１でした。

最後に見えている面の数を左から順に答えてください。

（２０１６年　桐朋中学）

解答

・わたしの…

(1)

93+177=270

270/18=30/2=15枚

(2)

a+b=18

b-a=27-23=4

b=11

c+d=18

d-c=41-27=14

d=16

so…

11,( ),16・・・( )=41-27=14

けっきょく…

11,14,16

ね ^^

11331：縦書きと横書きで重なる数字...

問題11331・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37039662.html

より Orz〜

　図のように、縦３マス，横５マスの中に、1 から 15 を左上から横書きにする場合と、

　右上から縦書きにする場合、同じ位置に同じ数が書かれるのは、4，8，12 です。

　では、縦 27マス，横 25マスの中に、1 から 675 を書くとき、同じ位置に書かれる同じ数は？

　また、縦横ともに 100マス以内で、縦 27マス，横 25マスのときと同じ答えになるのは、

　縦何マス，横何マスのとき？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37054060.html より Orz〜

　一般化して、縦ｍマス，横ｎマスとし、

　行に上から 0，1，2，……，m−1 ，列に右から 0，1，2，……，n−1 と番号をつけます。

　ｘ列ｙ行のマスに書かれる数は、

　横書きの場合は n−x＋ny ， 縦書きの場合は y＋1＋mx になるので、両者が等しいとき、

　n−x＋ny＝y＋1＋mx 、(n−1)(y＋1)＝(m＋1)x になるので、

　GCD(m＋1，n−1)＝g とし、m＋1＝ga，n−1＝gb とすれば、b(y＋1)＝ax 、

　a，b は互いに素なので、y＋1＝ak，x＝bk (k は自然数) と書けます。

　マスに書かれる数は y＋1＋mx＝ak＋bmk＝(ga＋gbm)k/g＝(m＋1＋mn−m)k/g＝(mn＋1)k/g 、

　1≦(mn＋1)k/g＜mn＋1 だから、k＝1，2，……，g−1 です。

　よって、(mn＋1)/g の 1倍，2倍，……，(g−1)倍 が、縦書きと横書きで一致する数です。

　　g は 縦マスの数＋1 と 横マスの数−1 の 最大公約数ですので、

　　縦書きの図で 1 の上のマスと mn の下のマスの中心を結ぶ線分を g等分する点が

　　中心であるマスが該当します。

　m＝3 ，n＝5 のとき、g＝GCD(4，4)＝4 ，(5･3＋1)/4＝4 だから、4，8，12 です。

　本問は、m＝27 ，n＝25 のときで、

　g＝GCD(28，24)＝4 ，(27･25＋1)/4＝169 だから、169，338，507 (合計 1014) です。

　これと同じ答になるのは、GCD(m＋1，n−1)＝4 ，mn＝27･25＝3³･5² だから、

　m≦100 ，n≦100 に注意して mn＝9･75＝15･45＝25･27 、

　GCD(m＋1，n−1)＝4 だから、(m，n)＝(75，9)，(15，45)，(27，25) です。

*これ(も)わからず…^^;

同じ形を平行移動すればいいような気もするも求め方わからず…

最初と次の点までの数が169という式をPCに解かせるもゴールできず…^^;;

前半だけ…^^;
25(a-1)+b=27(25-b)+a
6a+7b=25*7
b=(175-6a)/7
(a,b)=(7,19), (14,13), (21,7)
それぞれ…169,338, 507

d-c=m=1〜33,(b-a)y+m=m*x+a-b=169,a<b<=x<=100,m<=y<=100
をPCで計算島倉千恵子…^^;;

(x=横,y=縦)=(57,83), (25,27), (22,23), (19,80), (9,75)
が候補…

57(a-1)+b=83(57-b)+a・・・4個以上の解にてダメ
22(a-1)+b=23(22-b)+a・・・3個
19(a-1)+b=80(19-b)+a・・・3個
9(a-1)+b=75(9-b)+a・・・1個

けっきょく…
(横x,縦y)=(22,23), (19,80)
ってことになりそう…^^;…疲れた…Orz…
x,yで対称(入れ替え)なようでそうじゃないんですねぇ…

ここんとこ解けましぇん…

難問だからか，わたしの頭が惚けてきてるのか，その両方か…^^;...