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長男の土産 ^^
帰りの途上のインドネシアのだと言ってたような...
8枚の硬貨がすべて表を向いて横一列に並んでいる。
次の条件を満たす表向きの硬貨を無作為に1枚選んで裏返す。
条件：その硬貨より右に裏向きの硬貨が1枚もない、
もしくは、その硬貨より左に裏向きの硬貨が1枚もない。
条件を満たす表向きの硬貨が無くなるまでこの操作を続けたとき、裏向きになっている硬貨の枚数の期待値を求めよ。
解答
・わたしの…
途中まで…^^;
2枚選んだときその間は選べない…
xx・・・6-(2),5-(2)-1,4-(2)-2,3-(2)-3 x0x・・・5-(3),4-(3)-1,3-(3)-2
x00x・・・4-(4),3-(4)-1,2-(4)-2
x000x・・・3-(5),2-(5)-1
x0000x・・・2-(6),1-(6)-1
これをすべて考えなきゃいけないのか知らん…^^;
漸化式かいなぁ…?
under consideration…
・鍵コメT様からのヒント Orz〜
左端の硬貨は，必ず裏になって終了しますね．
左から2枚目が表のまま終了するのはどんな場合で， その確率はいくらになるでしょう． 3枚目だとどうなるでしょうか． *考えてみましたが…ダサい計算です…^^;;...
左端は常に裏x
xxxxxxxx=1
xox,xoox,xooox,xoooox,xooooox,xoooooox
=f(6)+f(5)+…+f(2)+f(1)=32
xxox, xxoox, xxooox, xxoooox, xxooooox
=f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=16
xxxox, xxxoox, xxxooox, xxxoooox
=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=8
xxxxox, xxxxoox, xxxxooox
=f(3)+f(2)+f(1)=4
xxxxxox, xxxxxoox
=f(2)+f(1)=2
xxxxxxox
=f(1)=1・・・f(8)=64…(7+7+6+2(4+5/2)+6+5+4*6+2(3+5/2)+4+3+8(2+7/2)+4*5+2(2+5/2)+4+3+16(1+15/4)+8(1+7/2)+4*4+2(1+5/2)+3+2+8)/64=157/32 =4.90625
いい感じの値ではあるなぁ ^^
xxxxxx=1
xox, xoox, xooox, xoooox=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=8
xxox, xxoox, xxooox=f(3)+f(2)+f(1)=4
xxxox, xxxoox=f(2)+f(1)=2
xxxxox=f(1)=1・・・f(6)=16…(5+5+4+2(2+5/2)+4+3+4*3+2(1+5/2)+3+2+6)/16=15/4
xxxxx=1
xox, xoox, xooox=f(3)+f(2)+f(1)=4
xxox,xxoox=f(2)+f(1)=2
xxxox=f(1)=1・・・f(5)=8…(4+4+3+2(1+5/2)+3+2+5)/8=7/2
xxxx=1
xox,xoox=f(2)+f(1)=2
xxox=1・・・f(4)=4...(3+3+2+4)/4)=3
xxx=1
xox=1・・・f(3)=2...(5/2)
xx=1・・・f(2)=1...(2)
x=1・・・f(1)=1...(1)
を使って上に代入して行きましたぁ...妙に疲れたり…^^;;
↑
どうも間違ってるよう…^^; Orz…
↓
・beyond me な鍵コメT様からのもの Orz〜
硬貨を左から順に1,2,3,4,5,6,7,8とし，手続きを次のように言い換えます．
[1] まず，1,2,3,4,5,6,7,8の順列を作る． [2] 順列の先頭から順に，その番号の硬貨に着目する． 着目した硬貨の左にも右にも裏向きの硬貨があるときは何もせず， そうでなければその硬貨を裏返す． 例えば，2,3,5,7,4,8,6,1という順列の場合， 2を裏返し，3を裏返し，5を裏返し，7を裏返し，[4はそのまま]，8を裏返し， [6はそのまま]，1を裏返すことになり，裏向きは，6枚となります． 各段階で，「条件を満たす表向きの硬貨」のどれもが等確率で選ばれるので， この言い換えで，確率に変化はないはずです． この手続きで，左から2枚目が裏になるのは，
2が (*1):「1,2のうちでは先頭」または (*2):「2,3,4,5,6,7,8のうちでは先頭」の場合で， (*1)の確率は1/2，(*2)の確率は1/7， (*1)かつ(*2)は2が全部の先頭の場合で確率1/8となるので， 2が裏になる確率は，1/2+1/7-1/8となります． 何枚目についても同様に考えることができて， k枚目(1≦k≦8)が裏になる確率は，1/k+1/(9-k)-1/8となります． この確率は，試行回数に占める，k枚目が裏となる回数の割合なので， k=1,2,…,8について合計すれば， 平均何枚が裏となるか，すなわち求める期待値が得られます． ということで，求める期待値は， (1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/8+1/7+1/6+1/5+1/4+1/3+1/2+1)-8*(1/8) =2*(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8)-1 =621/140 (≒4.436) となると思います． 別の方法も考えてみました．
一列に並んだk枚のカードから無作為に1枚を選び， そのカードおよびそれより後方のカードはすべて廃棄することを繰り返して， すべて廃棄するまでの回数の期待値をa[k]とします． a[0]=0. a[1]=1+1*(a[0])=1. a[2]=1+(1/2)*(a[0]+a[1])=3/2. a[3]=1+(1/3)*(a[0]+a[1]+a[2])=11/6. a[4]=1+(1/4)*(a[0]+a[1]+a[2]+a[3])=25/12. 以下同様にして， a[5]=137/60,a[6]=49/20,a[7]=363/140となり，a[0]+a[1]+…+a[7]=481/35です． はじめに，例えば3枚目を裏返しにしたとすると，
上の試行を，左側の2枚と右側の5枚について行うも同然であり， そのときの裏返しの平均回数は，1+a[2]+a[5]となります． 何枚目でも同じだから，元の問題の期待値は， ((1+a[0]+a[7])+(1+a[1]+a[6])+(1+a[2]+a[5])+…+(1+a[7]+a[0]))/8 =1+(a[0]+a[1]+a[2]+a[3]+…+a[7])/4 =621/140 で，同じ結論となりました． *熟読玩味ぃ〜^^;☆ |
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