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画像：http://matome.naver.jp/odai/2136448642854591301 より 引用 Orz〜
図のように6個の石を輪に並べて、1から6のように番号を付けます。
1から数えて3個目ごとに、石を取り除いていくと、最後に、1が残るのが確かめられます。
最初の個数が何個であってもいつも1が残るわけではありません。 江戸時代に関孝和という数学者が、最初の個数が1より大きいとき、1番の石が残るのは、最初の個数が、 4、6、9、31、70、105、355、・・・・・・
のときであるということを見つけました。もし、最初の石の個数が100個の場合は、最後に残るのは何番の石ですか。 解答
・わたしの…
70+30=100 なので…100から30個取り除くことを考える。
3*30=90
so…91番目が1番と考えればこれが残りますね ^^
*それにしても…
関孝和 様はどのようにしてこの数を求められたんでしょうか知らん ^^;…
・鍵コメT様がこの数を求めてくださいました♪
あまり効率のよいやり方ではないかもしれませんが，
数列「4,6,9,31,70,105,355,…」を得る方法を考えてみました． n個で始めて，3番目を取り除いていくときに残るのがa[n]番だとします． n+1個から始めた場合，1個取り除いた状態は4,5,6,…,n+1,1,2であり， このa[n]番目が残ることから， a[n]≦n-2であれば，a[n+1]=a[n]+3, a[n]≧n-1であれば，a[n+1]=a[n]-(n-2) であることがわかります． a[4]=1を出発点に，a[5]=4,a[6]=1. さらに，a[7]=4,a[8]=7,a[9]=1. 続けて，a[10]=4,…,a[13]=13,a[14]=2であり， a[15]=5,…,a[20]=20,a[21]=2となって， a[22]=5,…,a[30]=29,a[31]=1. このように，a[n]の値が1または2のとき，
いくつかの項を経て，次の1または2の項が出てきます． そのnが偶数か奇数か，項の値が1か2かに応じ， a[2m]=1のとき，a[2m+1]=4,a[2m+2]=7,…,a[3m-1]=3m-2,a[3m]=1. a[2m]=2のとき，a[2m+1]=5,a[2m+2]=8,…,a[3m-1]=3m-1,a[3m]=2. a[2m+1]=1のとき，a[2m+2]=4,a[2m+3]=7,…,a[3m+1]=3m+1,a[3m+2]=2. a[2m+1]=2のとき，a[2m+2]=5,a[2m+3]=8,…,a[3m]=3m-1,a[3m+1]=1. 以上の規則が把握できれば，a[4]=1から，
a[6]=1,a[9]=1,a[14]=2,a[21]=2,a[31]=1,a[47]=2,a[70]=1, a[105]=1,a[158]=2,a[237]=2,a[355]=1,a[533]=2,a[799]=1 のように，残るのが1番または2番である場合が順に列挙でき， 1番が残る個数として，4,6,9,31,70,105,355,799,…が得られることになります． * ブラボー☆ですが...何分わたしの力ではとレースできてましぇん…Orz…
*
最後に1が残ればいいから…
n個の場合…1週目で[n/3]個減り、 2週目で[n-[n/3]]/3個減り、 … これらの合計=n-2 という式...たとえば… [31/3]=10, [21/3]=7, [14/3]=4, [10/3]=3, [7/3]=2, [5/3]=1, [4/3]=1, [3/3]=1,...3-1=2 10+7+4+3+2+1+1+1=29=31-2 みたいにして求める方法を考えてみましたが… これはダメあるのね…^^;
↓
・鍵コメT様からのコメント Orz〜
例えば[n/3]個減ったとき，残りは，
nが3の倍数であれば，1,2,4,5,7,8,…ですが， nが3で割って1余るときはn,1,2,4,5,7,8,…であり， nが3で割って2余るときはn-1,n,1,2,4,5,7,8,…となります． ここからさらに操作を進めて1が残るかどうかは， 場合分けをしないと判断は厳しそうです． つまり，[n/3]+[([n-[n/3])/3]…の合計がどうなるかでは， 残るのが1かどうかの判定は難しいと思います． 実際，この条件では，例えばn=5とかも [5/3]=1,[4/3]=1,[3/3]=1,1+1+1=3=5-2とかで，満たしてしまいます． *なはぁ…
なかなか常人の浅はかな発想じゃ繙けない/開錠は無理なる代物なんだわ ^^;;
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