より Orz〜
同一平面上に 頂点Aを共有する １辺が 44 の 正方形ABCD と １辺が 18 の 正方形AEFG を、
A，B，C，D と A，E，F，G が反時計回りに並ぶように描き、CF の 中点を M とするとき、
△MGBの 面積の最大値は？ また、最小値は？
解答
問題アップし忘れてたと思っておりましたが…
書庫欄を間違えてたという不手際で…
ご迷惑ならびにお騒がせ致しましたこと慎んでお詫び申し上げます…Orz〜
…なんて、SMAPっぽい…^^
(鍵コメT様、ご指摘いただきグラッチェ〜m(_ _)m〜)
座標平面上で、A(0，0)，B(p，0)，C(p，p)，D(0，p)，G(q，r)，E(r，−q)，F(q＋r，−q＋r) とすれば、
M(p/2＋q/2＋r/2，p/2−q/2＋r/2) になり、
△MGB＝|r(p/2＋q/2＋r/2−p)−(q−p)(p/2−q/2＋r/2)|/2
＝|r(−p＋q＋r)＋(p−q)(p−q＋r)|/4＝|r(−p＋q)＋r2＋(p−q)2＋(p−q)r|/4
＝｛(p−q)2＋r2｝/4＝BG2/4＝(BG/2)2
ここで、|MB−MG|≦BG≦MB＋MG だから、|44−18|≦BG≦44＋18 、13≦BG/2≦31 、
132≦(BG/2)2≦312 、169≦△MGB≦961 です。
よって、最大値は 961 ，最小値は 169 です。
☆ 本問では p＝44，∠BAG＝θ とすれば q＝18cosθ，r＝18sinθ になり、
△MGB＝｛(p−q)2＋r2｝/4＝｛(44−18cosθ)2＋182sin2θ｝/4
＝(22−9cosθ)2＋92sin2θ＝565−396cosθ
△MGBが最大となるのは θ＝180ﾟ のときで B，A，Gがこの順に一直線上、
△MGBが最小となるのは θ＝0ﾟ のときで B，A，Gがこの順に一直線上です。
最大値は 565＋396＝961 ，最小値は 565−396＝169 です。
[解答2]
複素平面上で、A(0)，B(2z)，E(2w) とすれば、
C(2(1＋i)z)，F(2(1＋i)w)，G(2iw)，M((1＋i)(z＋w)) となって、
有向線分MGを表す複素数は、2iw−(1＋i)(z＋w)＝(−1−i)z＋(−1＋i)w 、
有向線分MBを表す複素数は、2z−(1＋i)(z＋w)＝(1−i)z＋(−1−i)w＝i｛(−1−i)z＋(−1＋i)w｝、
よって、MB＝MG ，∠BMG＝90ﾟ となって、△MGBは BGを斜辺とする直角二等辺三角形ですので、
△MGB＝(BG/2)2 になります。
ここで、|MB−MG|≦BG≦MB＋MG だから、|44−18|≦BG≦44＋18 、13≦BG/2≦31 、
132≦(BG/2)2≦312 、169≦△MGB≦961 です。
よって、最大値は 961 ，最小値は 169 です。
[解答3]
Mに関してBと対称な点をHとします。
Mに関してCと対称な点はFだから、FH//CB⊥AB ，FH＝CB＝AB 、
また、FG⊥AG ，FG＝AG だから、
△HFG は △BAG を Gを中心に 90ﾟ回転したものになり、
△HGB は GB＝GH の直角二等辺三角形になります。
よって、△MGB＝△HGB/2＝(BG/2)2 になります。
ここで、|MB−MG|≦BG≦MB＋MG だから、|44−18|≦BG≦44＋18 、13≦BG/2≦31 、
132≦(BG/2)2≦312 、169≦△MGB≦961 です。
よって、最大値は 961 ，最小値は 169 です。
*図を見てて気付けなかったのが不思議…^^;…
わたしゃ…特殊化して…?
上のような関係性が背景にあったから上手くいっただけでした…Orz…
同じ大きさの正方形で考えると…
MaxはADとAEがくっついているとき…
MinはABとAGがくっついているとき…
大きさを変えても…
面積の大小の関係性は相似的に縮小されるから変わらないはず…
(数学的にどう言えばいいのかわからない…^^;…)
その図を描いて相似計算すると…
Max=(44+18)*(44-26/2)/2=961
Min=(44-18)*(44-62/2)/2=169
*ウゥ〜マンダムな数値設定ね ^^☆
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