アットランダム≒ブリコラージュ

10409：円周上の65(赤1,青64)の点でできる多角形...赤を含むものと青だけのものの差......

問題10409・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

10408：2と3とのそれぞれの累乗数の大きさの順に並ぶ数列の第1000項目...

問題10408(友人問)

等比数列2,4,8,….　と　等比数列3,9,27,….

のすべての項を小さい順に並べて出来る数列の第1000項は、

ふたつの等比数列のどちらの第何項か。

（log₆2=0.386852….　を使ってよい）

解答

・わたしの…

ちとアバウトですが…^^;

2^n<3^m

n+m=1000

n*log2<m*log3

n/m<log3/log2

log2=0.386852*(log2+log3)

1=0.386852*(1+log3/lo2)

1/0.386853-1=1.58496121...<log3/log2<1/0.386852-1=1.58496789…

1.58496121<n/m<1.58496790

n+m=1000

を解かせると…^^;

386.852<m<386.852

3^386/2^614=0.2...

m=387, n=613

3^387/2^613=1.30

so...

1000番目は3^387・・・3の387項目目ね ^^

・鍵コメT様の巧い解法☆

n/m≒log3/log2から，n/m+1≒log6/log2,つまり(n+m)/m≒log_2 6となって，
m/(n+m)≒log_6 2=0.386852…です．
2^613<3^387<2^614 (これもlog_6 2=0.386852…から判断できます)より，
第1000項は，3^387で正しいですね．
なお，計算機を使うなら，この項3^387の下3桁を計算してみると面白いかも．

* 3^387=

つまり…3^387≡387　mod 1000

ってことですが...上の問題の1000番目の数になることと関係あるのか知らん…^^;…?

・鍵コメY様からのスマートな解法☆

簡単のため、底を６とするｘの対数を L(x) で表すことにします。
L(2)＋L(3)＝1，L(2)＝0.386852… より L(3)＝0.613147… 、 
L(2^613.147…)＝L(3^386.852…) だから、2^613.147…＝3^386.852…
2^613，3^386 までに 999項あるので、第1000項は、2^614，3^387 の小さい方です。
L(2^614)＝237.527…，L(3^387)＝237.287… だから、3^387 が答です。
この計算で、いずれも６進法で表すと 238桁の数であることが分かります。

*L(2)*1000*L(3)=L(2^613.147…)=L(3)*1000*L(2)=L(3^386.852…) ってことですね ^^

上の意味からは…L(2)+L(3)=0.999…. なので、

613+386=999

2^614か3^387のいずれかが1000項目

614*0.386 と 387*0.613 で比べると…

(6131+9)*(3868) と (3868+2)*6131 との差は…9*3868>2*6131

so…

2^615>3^387・・・これらは、じっさいは小数点以下なので...桁数は同じ ^^

どちらになるかは...次の小数の桁の数によって異なりますね…

10桁…

2^6, 3^3までで9個

2^7=128>3^4=81

so…

3^4

100桁…

2^61, 3^38までで，99個

2^62 or 3^39

62*0.386 と39*0.613 との差は…

(613+7)*386 と (386+4)*613 との差は…

7*386>4*613 から…

3^39

だけど…

10000桁…では...

2^6132 or 3^3869

6132*0.38652, 3869*0.61314

(61314+6)*38652 と (38652+38)*61314 との差は…6*38652<38*61314

so…2^6132になりますね ^^

10407：最小の倍数...クイズ ^^

問題10407・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

５を加えると８の倍数になり、

８を加えると５の倍数になる最小の整数を求めなさい。

解答

・わたしの…

n+(5+8)=5*8

n=27

ね ^^

10406：阿弥陀籤の1:1対応...

画像：http://www.oparaq.com/shop/sen/shikishi/84018.html より 引用 Orz〜

阿弥陀如来

問題10406

あみだくじは上と下が１：１対応することを証明せよ。

解答

・わたしの…

n本のくじとして、上のn本は必ず下のいずれかに到達する。

もし重複があるとしたら、下のn本のうち余るものがでて来る…

but…

上下を逆にしたとき…

やはり、上と同様のことが言えるので、下のn本は上のn本に繋がっている…

つまり、すべて繋がっていることがわかるが、n=nなので、1:1対応以外に考えられない…

で言えてますよね ^^

・

http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Gaien/4681/solution/solution8.html より 引用 Orz〜

「証明1：数学的帰納法を用いる。

まず、任意のN本の縦線を用意する。

( I )　横線を一本も入れないとすると、スタートとゴールが一対一に対応していることは自明である。
( II )　横線を任意の本数（K本）引いたときに、スタートとゴールが一対一に対応していると仮定する。
このとき、もう一本横線を増やすと横線で繋がれた縦線どうしで、道順が局所的に入れ替わるだけで、一対一の対応にかわりは無い。
すなわち、Ｋ+1本の横線が入ったときにも一対一対応は成り立っていると言える。

以上の(I),(II)から"あみだくじ"が常に一対一対応を

みたしていることが分かる。(証明終わり)

証明2：背理法を用いる。

まず、N本の縦線を用意して、そこにK本の横線を引いた、任意のあみだくじを考える。

( I )最初に、N個のスタートの中から一箇所をスタートとして選ぶ。
( II )そのスタートから"あみだくじ"を始めると、同じスタートから始める限りは、同じゴールに着くはずである。

(III)このとき
別々の2つのスタートから同じゴールにたどり着いた、と仮定する。

そこで、ゴールから逆にスタートに向かってたどっていったとする。
そうすると、スタートをゴール、ゴールをスタートとしてみなすと、この仮定は、1つのスタートから2つのゴールにたどり着くことにひとしい。つまり、( II )の事実に反する。

したがって、(III)の仮定は間違っていて

(II)の"同じスタートから始める限りは、同じゴールにたどり着く"というのは、常に正しいことが分かる。

すなわち、スタートとゴールの一対一対応が常に成り立っていると言える。

(証明終わり)

　　

ちなみに、あみだ＝阿弥陀　で 阿弥陀様の後光のように線が引かれることから"あみだくじ"と

名前がついたそうです。」

10405：正四角錐と面角...

問題10405・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36448397.html#36448397 より Orz〜

　側面どうしの面角が 120ﾟ で 体積が 108√3 である正四角錐の２種類の辺の長さは？

　また、側面と底面の面角は？

　面角というのは、図の展開図を組み立てたときの赤い線どうし，緑の線どうしの角のことです。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36465957.html より Orz〜

[解答1]

　左中図のように、赤い線，緑の線を頂点を通るように描き直します。

　側面は二等辺三角形ですが、その等辺を a ，底辺を 2b とすれば、高さは √(a²−b²) です。

　底面の正方形の対角線の長さは (2√2)b になり、側面に描かれた赤い線の長さを c とすれば、

　辺の長さが (2√2)b，c，c の二等辺三角形の角が 120ﾟ，30ﾟ，30ﾟ だから、

　(2√2)b：c＝√3：1 、(2√2)b＝(√3)c 、8b²＝3c² になります。

　また、側面の二等辺三角形の面積は、b√(a²−b²)＝ac/2 だから、b²(a²−b²)＝a²c²/4 、

　3b²(a²−b²)＝3c²a²/4 、3b²(a²−b²)＝8b²a²/4 、

　3(a²−b²)＝2a² 、a²＝3b² 、a＝(√3)b です。

　正四角錐の高さは 辺の長さが a，a，(2√2)b の二等辺三角形の高さに等しく、

　√(a²−2b²)＝√(3b²−2b²)＝b だから、

　正四角錐の体積は (2b)²･b/3＝108√3 となって、b³＝81√3 、b＝3√3 です。

　a＝(√3)b で、２種類の辺の長さは a，2b だから、9，6√3 です。


　次に、側面と底面の面角は 等辺が √(a²−b²)，底辺が 2b の二等辺三角形の底角です。

　等辺と底辺の比は、√(a²−b²)：2b＝√(3b²−b²)：2b＝√2：2＝1：√2 、底角は 45ﾟ です。


[解答2]

　下図のように 側面どうしの面角が 120ﾟ である正四角錐を６個組み合わせれば 立方体が出来ます。

　一方の辺は この立方体の１辺でこれを x とすれば x³＝6･108√3＝216･3√3 、x＝6√3 です。

　他方の辺は この立方体の対角線の 1/2 で、(6√3)･(√3)/2＝9 です。

　側面と底面の面角は 明らかに 45ﾟ です。

*[解答2]には言われないと気付けましぇん…^^;

360°の3分割の面角は120°になるわけねぇ☆

わたしゃひたすら地地道に…^^

正方形の１辺をaとすると…
(√2/2)*(2/√3)=√6/3
√(1^2-(√6/3)^2)=√3/3
1/(√3/3)=h'/(1/2)・・・h'=√3/2
h=√((√3/2)^2-(√2/2)^2)=1/2
so…
a^2*(a/2)*(1/3)=108√3
a^3=6^3*(√3)^3・・・a=6√3
斜辺=(a/2)*(3/√3)=9
けっきょく…9, 6√3 ♪
高さ1/2*a=正方形の辺の半分 から…面角=45°