11689：凸47角形の対角線2本が交わらない...

問題11689・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37234775.html#37234775 より Orz〜

　凸47角形の対角線の数をＮとするとき、N＝？

　凸47角形の対角線Ｎ本のうち、

　凸47角形の内部や頂点で交わらない２本の選ぶ方法がＭ通りあるとして、M/N＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37248456.html より Orz〜

[解答1]

　一般化して、凸ｎ角形とします。

　対角線の端点として１つの頂点の決め方は n 通り、

　その頂点と両隣の頂点以外の頂点をもう１つの端点とすればよいので、n−3 本、

　これは対角線を２回ずつ数えることになるので、N＝n(n−3)/2 です。

　頂点で交わる２本の対角線の選び方は、１つの頂点を決めれば、

　その頂点を端点とする n−3 本の対角線から２本を選べばよいので、

　n･_n-3Ｃ₂＝n(n−3)(n−4)/2＝(n−4)N 通り、

　内部で交わる２本の対角線の選び方は、頂点を４個選べば交わるように２本を描けますので、

　_nＣ₄＝n(n−1)(n−2)(n−3)/24＝(n−1)(n−2)N/12 通り、

　２本を選ぶ総数は _NＣ₂＝N(N−1)/2 通りですので、

　内部や頂点で交わらない場合の数Ｍは、M＝N(N−1)/2−(n−4)N−(n−1)(n−2)N/12 になり、

　M/N＝(N−1)/2−(n−4)−(n−1)(n−2)/12＝6(N−1)/12−12(n−4)/12−(n−1)(n−2)/12

　 ＝(6N−6−12n＋48−n²＋3n−2)/12＝｛3n(n−3)−n²−9n＋40｝/12

　 ＝(2n²−18n＋40)/12＝(n²−9n＋20)/12＝(n−4)(n−5)/6 です。

　n＝47 の場合、N＝47(47−3)/2＝1034 ，M/N＝(47−4)(47−5)/6＝301 です。


[解答2]

　一般化して、凸ｎ角形とします。

　対角線の端点として１つの頂点の決め方は n 通り、

　その頂点と両隣の頂点以外の頂点をもう１つの端点とすればよいので、n−3 本、

　これは対角線を２回ずつ数えることになるので、N＝n(n−3)/2 です。

　次に、M/N は対角線１本についての内部や頂点で交わらない対角線の本数ですので、

　凸ｎ角形の頂点１個を固定し、n−3 本の対角線について考察すればよいことになります。

　固定する点を 1 として左回りに 2，3，4，……，n と番号をつけ、

　対角線を「小さい番号⇒大きい番号」で表すと、

　対角線 1⇒a 対して 対角線 b⇒c (a＜b＜c) を考えれば、 

　a，b，c−1 の決め方は 3 から n−1 までの _n-3Ｃ₃ 通りあり、

　M/N＝_n-3Ｃ₃/(n−3)＝(n−4)(n−5)/6 です。

　なお、a＞b＞c のときは 対角線 c⇒b 対して 対角線 a⇒1 と考え、ここでの対象外とします。

　n＝47 の場合、N＝47(47−3)/2＝1034 ，M/N＝(47−4)(47−5)/6＝301 です。

*わたしゃとにかく思考が数えまくりに走りましたです ^^;

さいしょ…

N=47C2-47=47*(23-1)=1034 ♪
M=2*47C4
so...
M/N=2*47*46*45*44/(4*3*2*47*22)=23*15=345

で、サービス問なんだ，なんて優しいお方と思ってたのは脆くも潰え…

そこから難産が始まりましたぁ…^^;;

(1) 4点の間に1点を入れておいて、残り47-8=39をその間の4カ所に入れる場合・・・2組できる…
(2) 1辺-1辺のとき…47-6=41をその間の2ヶ所に入れる場合・・・1組できる
(3) 1辺のとき・・・47-7=40を3カ所に入れる場合・・・1組できる

(1)=47*4H39=47*42C3=47*7*41*40
(2)=47*2H41=47*42C1=47*42
(3)=47*3H40=47*42C2=47*41*21

回転したら...同じ形が(1)は4回、(2)は2回あるので…
M=47*(7*41*40*2/4+42/2+41*21)=47*6622
so…

M/N=6622/22=301

・友人からのもの…

N=47C2-47=1034
Mは全体から内部と頂点を引き算して求めました
全体は1034C2=534061
内部は4頂点の対角線の交点と1:1対応だから、47C4=178365
頂点は、1つの頂点には44本あるから44C2*47=44462
よってM=534061-44462-178365=311234
M/N=301
M/NというからM/Nが直接求まるのだろうか
n角形とすれば内部の最高次数のn^4の係数は1/24
外部は同じくn^4で1/12
これから円に勝手に2つ弦を引くと交わる確率は1/2 ??