アットランダム≒ブリコラージュ

11694：鉄柱の高さ...

問題11694・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/1mon1pun/ より 引用 Orz〜

円柱の形をした鉄のかたまりア、イ、ウがあります。

ア、イ、ウの高さの合計は９５ｃｍです。

図のように、水の入っている水そうにア、イ、ウをまっすぐに立てます。

このとき、アの高さの２/５、イの高さの１/４が水面から出ていました。

また、ウの上の面は水面より１ｃｍ下のところにありました。

（１）アとイの高さの比を求めなさい

（２）ウの高さを求めなさい。

（２０１６年　東大寺学園中学）

解答

・わたしの

(1)

ア=a, イ=b

a*(3/5)=b*(3/4)

ア：イ=a：b=1/4：1/5=5：4

(2)

5*(3/5)=3t

ウ=3t-1

so…

3*3t-1=95

t=96/9=32/3

ウ=32-1=31 cm

ね ^^

11693：2015Ck が偶数になる最小のk...

問題11693(友人問)

2015Ckが偶数となる最小のkを求めよ。

解答

・わたしの…

パスカルの三角で，偶奇を考える…

2048は100………001

2047は 111……..111

 

2015のときの偶奇が111…………10 とすると、

2016 のときは…　 100………….01

2017のときは…   1100………...01

と、0が1個ずつ減る

2016のときの0の個数がk個なら…

2016+k=2047

k=31

so…

2015のときの最後の1は32個目

so…

最初の0=偶数は33個目

けっきょく、2015C32 のはずね ^^

じっさいに…

2015!/((2015-32)!*32!)=

♪

11692：P個の自然数の和と積の比が2:3...

問題11692・・・筋肉の申し子さんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/muscle_creater_type02/folder/367263.html?m=lc&p=27 より Orz〜

Pコの相異なる自然数の和と、
積の比が2:3となるときのPを求めよ。

解答

再掲載か…^^;

・むかしのわたしの…

いっぱんに...
a(1)<a(2)<...,a(p-1)<a(p) とすると...
題意は...
3p*a(p)>3*(a(1)+a(2)+...+a(p))=2*a(1)*a(2)*...*a(p) なので...
3p/2>a(1)*a(2)*...*a(p-1)>(p-1)!
3p/2>(p-1)!
3p>2(p-1)! を満たすのは...p=4 のとき...3*4=12=2*(4-1)!=12なので…

あるとするなら...p=2,3 のときだけ ^^
実際に...
p=2 のとき…
6b>3(a+b)=2ab
3>a...a=1,2
a=1...3(1+b)=2b...b=3
a=2...3(2+b)=6b...b=2...x
9c>3(a+b+c)=2abc
9/2>ab...(a,b)=(1,2),(1.3),(1,4)
(a,b)=(1,2)...3(1+2+c)=4c...c=9
(a,b)=(1,3)...3(1+3+c)=6c...c=3...x
(a,b)=(1,4)...3(1+4+c)=8c...

11691：原点から直線への垂足の座標...

問題11691・・・筋肉の申し子さんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/muscle_creater_type02/folder/367263.html?m=lc&p=27 より Orz〜

O(0,0) A(2,6) B(3,4)としてOからABに垂線をおろし、その足をCとします。

Cの座標を求めよ。

解答

再掲載かも…^^;

・むかしのわたしの…

AB上の点C:(OC)=(2+(3-2)t, 6+(4-6)t)と
(AB)=(3-2,4-6)は直交してるから...
内積=(2+t,6-2t)*(1,-2)=2+t-12+4t=5t-10=0
t=2
C=(4,2)

11690：円に内接する四角形の対角の和=180°...

問題11690・・・筋肉の申し子さんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/muscle_creater_type02/folder/367263.html?m=lc&p=23 より Orz〜

∠A＋∠C=180°を示せ。

解答

再掲載かも…^^;

・むかしのわたしの…

４個の二等辺三角形ができ...
角A+角C=角B+角D=四角形の内角の和180*2/2=180°

*筋肉の申し子さんのもの Orz〜

円周角なのですから、AOCが一直線上になるようにCを動かしても、

∠A＋∠Cは一定のまま。∠B'＋∠D'だって一定で、

それぞれ直径が弦だから90°*2=180°

つまり内角の和から360°-180°で証明できる。