アットランダム≒ブリコラージュ

11744：マルファッティの円 ...西洋の算額 ^^

腹減ってきたなぁ…^^;

but…

空腹感を覚えなきゃ，長寿遺伝子は活性化されないあるのよ!!…^^

問題11744・・・https://ja.wikipedia.org/wiki/マルファッティの円 より Orz〜

どちらの面積の方が大きいでしょうか？

解答

・わたしの…

左…

(2+2√3)r^2・・・3r^2

右…

(2√3*R)^2・・・(1+2/3^2)R^2

r^2 : R^2 =1/(4(1+√3)^2) : 1/12

              =1/(1+√3)^2 : 1/3

              =3 : 4+2√3

3r^2 : (11/9)R^2 = 3^2 : (22/9)*(2+√3)=9.122...

so…

右側の方が少しだけ大きいのねぇ ^^;v

11743：旧跡…正三角形2個...

問題11743・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図のように一辺の長さが８ｃｍである正三角形ＡＢＣと

ＰＢ＝ＰＣである二等辺三角形ＰＢＣがあります。

ＡＢを対称の軸として、Ｐと対応する点をＱとすると、ＰＱ＝２ｃｍになりました。

次の図形は一辺の長さが１ｃｍの正三角形の面積の何倍ですか。

（１）三角形ＰＡＱ

（２）四角形ＰＱＢＣ

（今年、２０１６年　東大寺学園中学）

解答

・わたしの…

(1)

2^2=4倍

(2)

等積変形で…

□PQBC=△ABC-△PAQ=8^2-2^2=60倍

ね ^^

11742：旧跡...△内の縮小三角形...

問題11742・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37251776.html#37251776 より Orz〜

　△ABCの 辺BC上に点D，辺CA上に点E，辺AB上に点F があり、

　BEとCFの交点をP，CFとADの交点をQ，ADとBEの交点をR とします。

　△PCE＝△QAF＝△RBD＝108，△PQR＝28 のとき、△ABCの面積を S とすれば、S＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37266076.html より Orz〜

　BD＝aBC，CE＝bCA，AF＝cAB (0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1) とします。

　メネラウスの定理により、(BP/PE)(EC/CA)(AF/FB)＝1 、PE/BP＝(EC/CA)(AF/FB)＝bc/(1−c) 、

　PE/BE＝bc/(1−c＋bc) なので、△PCE/△BCE＝bc/(1−c＋bc) 、また、△BCE/△ABC＝b 、

　よって、△PCE/S＝b²c/(1−c＋bc) になり、

　同様に、△QAF/S＝c²a/(1−a＋ca) ，△RBD/S＝a²b/(1−b＋ab) です。

　△PCE/S＝△QAF/S＝△RBD/S だから、b²c/(1−c＋bc)＝c²a/(1−a＋ca)＝a²b/(1−b＋ab) 、

　ab²c/(a−ca＋abc)＝c²a/(1−a＋ca) なので加比の理により、この値は (ab²c＋c²a)/(1＋abc) と等しく、

　同様に、(ab²c＋c²a)/(1＋abc)＝(abc²＋a²b)/(1＋abc)＝(a²bc＋b²c)/(1＋abc) 、

　ab²c＋c²a＝abc²＋a²b＝a²bc＋b²c 、b＋c/b＝c＋a/c＝a＋b/a になります。

　b＋c/b＝c＋a/c＝a＋b/a＝k とおけば、

　b²＋c＝bk 、b²−bk＝−c 、k−bk−1＋b²＝k−c−1 、

　(1−b)(k−b−1)＝k−c−1 、同様に、(1−c)(k−c−1)＝k−a−1 ，(1−a)(k−a−1)＝k−b−1 、

　辺々乗じて、(1−b)(k−b−1)(1−c)(k−c−1)(1−a)(k−a−1)＝(k−c−1)(k−a−1)(k−b−1) 、

　(k−a−1)(k−b−1)(k−c−1)｛(1−a)(1−b)(1−c)−1｝＝0 、

　ここで、(1−a)(1−b)(1−c)＜1 なので、(k−a−1)(k−b−1)(k−c−1)＝0 、

　k＝a＋1 または k＝b＋1 または k＝c＋1 です。

　k＝a＋1 のとき、a＋b/a＝k より a＋b/a＝a＋1 、a＝b 、b＋c/b＝k より a＋c/a＝a＋1 、a＝c 、

　同様に、k＝b＋1 ，k＝c＋1 のときも a＝b＝c になります。

　ここで、△PBC＝△BCE−△PCE だから、

　△PBC/S＝△BCE/S−△PCE/S＝b−b²c/(1−c＋bc)＝a−a³/(1−a＋a²)＝a(1−a)/(1−a＋a²) 、

　同様に、△PCA/S＝△PAB/S＝a(1−a)/(1−a＋a²) 、

　△PQR＝△ABC−△PBC−△PCA−△PAB より、

　△PQR/S＝△ABC/S−△PBC/S−△PCA/S−△PAB/S＝1−3a(1−a)/(1−a＋a²)＝(1−2a)²/(1−a＋a²) 、

　△PCE/S＝b²c/(1−c＋bc)＝a³/(1−a＋a²) ですので、△PCE：△PQR＝a³：(1−2a)² です。

　本問では、108：28＝a³：(1−2a)² 、7a³＝108a²−108a＋27 、(7a−3)(a²−15a＋9)＝0 、

　(3/a−7)(9/a²−15/a＋1)＝0 、1/a＞1 だから、1/a＝7/3，(5＋√21)/6 です。

　△PCE/S＝a³/(1−a＋a²) より、S＝(△PCE)(1−a＋a²)/a³＝108(1/a³−1/a²＋1/a) ですので、

　1/a＝7/3 のとき、S＝108(343/27−49/9＋7/3)＝1372−588＋252＝1036 、

　1/a＝(5＋√21)/6 のとき、1/a²＝(23＋5√21)/18 、1/a³＝(55＋12√21)/27 、 

　S＝108｛(55＋12√21)/27−(23＋5√21)/18＋(5＋√21)/6｝

　 ＝4(55＋12√21)−6(23＋5√21)＋18(5＋√21)＝172＋36√21 、

　よって、S＝1036，172＋36√21 です。

*根拠もなく，特殊化で…^^;;

AF : FB=a : (1-a)
AD=a^2-a+1
(a^2-a+1)*(a/(1-a))
=a(a^2-a+1)/(1-a)
a^2-a+1+a(a^2-a+1)/(1-a)
は…
1+a/(1-a)=1/(1-a)
a(a^2-a+1)/(1-a)+a^2
=a/(1-a)
So…
AR=a, 
RP=a^2-a+1-(a^2+a)=1-2a
PD=a^2

(1-2a)^2/a^3=28/108
a=3/7, (15-3√21)/2, (15+3√21)/2

(a^2)^2+a^2-a^3=a^2*t^2
t^2=a^2-a+1
So…
28*(a^2-a+1)*(1/(1-2a)^2)
は、それぞれ…
1036, (172-36√21・・・これは明らかに満たさない)
(172+36√21<337<3*108+28=352で満たさない)
けっきょく…1036 だけ

と思いきや...右の図があることなんて盲点でした…^^;;;

△PCE，△QAF，△RBDが重なる場合
で気づけました…っていうか、残りは…
172+36√21
しかありませんから ^^;;…これでしたのね ^^;…
(108-28)*3+28=268<172+36√21<337
で存在しうるわけですね☆

辺の外側に取る場合も許せば…
172-36√21 (=7.0…) があるわけだと思われます…
ちょうど7なら、△PCEは∞になるから…△ABCは△PQRの真ん中よりちょっとだけ傾いていれば存在しそうですから ^^…?
but...最初の式からその値が出てくるのは解せませんけど…^^;; Orz