2016年10月20日の記事一覧 - 詳細表示

11755：1～nまでの整数から55個を取り出すとき，その中に差が9になり2数が存在するときのnは？

問題11755・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pigeon/pigeon.htm

より (FNさん提示問を勝手に改変 ^^ ) Orz～

１から n までの n 個の整数がある。この中から55個の整数をどのように選んでもその55個の中にその差が９となる２つの数が必ず存在するときの nを求めよ。

解答

・わたしの…

上記サイト(以下のFNさんの発想)を利用して ^^

１からnまでの整数を、次の６つのグループに分ける。

１～１８、１９～３６、３７～５４、５５～７２、７３～９０、９１～１０９

選んだ５５個が上のグループに何個入るかを考える。

すべてのグループに９個以下しか入らないとすると、６×９＝５４個以下であるから

少なくとも１つのグループに１０個以上入ることになる。

連続した１８個の数の中に、１０個の数が入っていることになる。

９で割った余りは９通りしかないので、９で割った余りが等しい２つの数がある。

その差は９の倍数であるが、18以上にはなりえないから９である。」

で、最後のグループは、9個あれば，残りのグループから選ぶことになるのでいえますね？

so…

n=99～109個

かなぁ…?

↑

ミスってました…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

差が9となる2数がないように，小さい方から詰めて数を選んでいくと，
55番目までならば
1,2,3,4,5,6,7,8,9,
19,20,21,22,23,24,25,26,27,
37,38,39,40,41,42,43,44,45,
55,56,57,58,59,60,61,62,63,
73,74,75,76,77,78,79,80,81,
91,92,93,94,95,96,97,98,99,
109
となります．
ということで，n=109だと，題意は不成立ですね．

55個選べるようにするなら，nは55～108だと思います．

*でしたわ ^^;v

上手く並べられるものですね♪

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11754：1～100から55個を選んだとき、差が9となるものが存在する...

問題11754・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pigeon/pigeon.htm

より引用Orz～

１から１００までの１００個の整数がある。この中から、５５個の整数をどのように選んでも必ず、その５５個の中に、２つの相異なる数で、差が、９となるものが存在する。

解答

・わたしの…

mod 9で分類…

1:1,10,19,…,100・・・12個

2:2,11,20,…,92・・・11個

3:3,12,…,93

4:4,…,94

5:5,…,95

6:6,…,96

7:7,…,97

8:8,…,98

0:9,…,99

同じ余りから選んだらその差は9になる…

so…

10個選べば…その差は9になるものがあるんだけどなぁ…^^;

↑

間違いに気づきましたわ ^^;

差は9の倍数というだけでちょうど9とは限らないのでした…Orz...

＊上記サイトより Orz～

「任意に選んだ５５個の整数を、　１≦ａ₁＜ａ₂＜・・・＜ａ₅₄＜ａ₅₅≦１００　とする。

これらの全てに９を加えて、１０≦ａ₁＋９＜ａ₂＋９＜・・・＜ａ₅₄＋９＜ａ₅₅＋９≦１０９

このとき、　ａ₁、ａ₁＋９、・・・、ａ₅₅、ａ₅₅＋９　と１１０個の整数がある（これが、鳩）。

ところが、これらは、１から１０９までの１０９個の整数である（これが、鳩ノ巣）。

したがって、鳩ノ巣原理により、ａ_ｍ＝ａ_ｎ＋９　となる２数　ａ_ｍ、ａ_ｎ　が存在する。

この２数の差が９となる。（終）」

*どうしてこんな上手い発想ができるんでしょね ^^;☆

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11753：19以下の自然数から7個を選んだら…和が等しい2組ができる...

問題11753・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pigeon/pigeon.htm より引用 Orz～

１９以下の自然数から、７個の数を適当に選ぶ。この７個の数の中から、

いくつかの相異なる数の組を２組選んで、その和を等しくすることができる。

解答

上記サイトより Orz～

「７個の数の中から、いくつかの相異なる数を選んで組を作るとき、その作り方は、
　　　　　２⁷－１＝１２７通りある。（これが、鳩）

また、そのような組の中で、
和が最大となるものは、１９＋１８＋１７＋１６＋１５＋１４＋１３＝１１２
和が最小となるものは、１
である。

したがって、和のとり得る値は、１、２、３、・・・・、１１２　（これが、鳩ノ巣）

よって、鳩ノ巣原理により、和が等しくなる組が少なくとも２つ存在する。

２つの組にもし、同じ数があれば、それらを取り除いても、和は等しいままで、

しかも、２つの組の数は、すべて異なるようにできる。（終）

（参考文献：ローレン・Ｃ・ラーソン　著　秋山　仁・飯田博和　訳
　数学発想ゼミナール　＜１＞　（シュプリンガー・フェアラーク東京））」

*これで言えてることが俄にゃわからないなぁ…^^;