アットランダム≒ブリコラージュ

11658：確率...円内の2本の弦がある角度で交差するとき...

問題11658・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37217085.html#37217085 より Orz〜

　図のように、円周を 75等分する点があります。

　この中から無作為に４点を選び、２本の交差する弦を描くとき、

　交差する弦のつくる角が 60ﾟ(120ﾟ)になる確率は？

　また、確率が 217/5402 になるのは、交差する弦のつくる角が 何度のとき？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37231613.html より Orz〜

　１点を固定しても確率は変わりませんので、

　固定する１点から左回りに 1，2，3，……，75 と番号をつけ、

　2，3，……，75 の番号から３個を選び、小さい順に a，b，c とすれば、

　番号の選び方は、₇₄Ｃ₃＝74･73･72/3!＝74･73･12 通りです。

　また、隣り合う２点の間の弧に対する円周角は 180ﾟ/75＝12ﾟ/5 ですので、

　12ﾟ/5＝θ とすれば、

　一般に、m＜n として、点ｍから左回りに点ｎまでの弧に対する円周角は (n−m)θ 、

　交差する弦のつくる角が 60ﾟ＝25θ または 120ﾟ＝50θ になるのは、a−1＋c−b＝25，50 のときです。

　a−1＋c−b＝k とすれば、b＝a＋c−k−1 になり、

　a＜b＜c ですので、a＜a＋c−k−1＜c 、a＜k＋1＜c　のときに b が決まります。

　a は 2 から k までの k−1 種類，c は k＋2 から 75 までの 74−k 種類 になり、

　(a，c)の選び方は (k−1)(74−k) 通りあります。

　従って、k＝25 のとき 24･49 通り、k＝50 のとき 49･24 通りになるので、

　交差する弦のつくる角が 60ﾟ または 120ﾟ になる確率は、24･49･2/(74･73･12)＝98/2701 です。

　次に、確率が 271/5402 になるときの 交差する弦のつくる角を

　mθ または nθ (m＋n＝75，m＜n) とすれば、a−1＋c−b＝m，n です。

　k＝m のとき (m−1)(74−m)＝−m²＋75m−74 通り、

　k＝n のとき (n−1)(74−n)＝−n²＋75n−74 通りで、

　合計は −(m＋n)²＋2mn＋75(m＋n)−148＝2(mn−74) 通り、

　確率は 2(mn−74)/(74･73･12)＝217/5402 、2(mn−74)/12＝217 、mn＝1376 になり、

　m，n は x²−75x＋1376＝0 の解、(x−32)(x−43)＝0 、m＝32，n＝43 、

　mθ＝32･12ﾟ/5＝76．8ﾟ 、すなわち、76．8ﾟ(103．2ﾟ) です。

*以前の類題(http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/49473055.html)を参考にして …Orz〜

25・・・75-26=49
24*49*75/(2*1215450)=98/2701

n・・・75-(n+1)=74-n
(n-1)(74-n)*75/(2*1215450)=217/5402
n=32, 43
32*(180/75)=384/5=76.8° (103.2°)

11657：推理...立方体の面の色...

問題11657・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

６つの面を異なる色でぬった立方体を３回投げると、

自分に向かって図のように色が見えました。

青色の面と向かい合う面の色は何でしょう？ 

（２０１６年　公文国際学園中等部）

解答

・わたしの…

空間認識の訓練にいいかも ^^…?

黒の向かいは黄色とわかり...

真ん中の位置から…

青の向かいは茶色ね ^^