こんにちは、ゲストさん
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風邪だったか...声が出るようになったチェリー ^^
🐱は自分で風邪を治す☆
より 引用 Orz〜
を１３で割ったときの余りを求めよ。
(２００１年日本数学オリンピック予選) 解答
・わたしの…
1001=7*11*13
so…
1+1000=2+999=…=500+501=0
1001=0
1002=1
1003=2
…
2001=1000
so…
再び…
1+1000=2+999=…=500+501=0
so…
与式=0 mod 13
ね ^^
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わが家のネギラーメン♪
問題は...スープだけ…^^;
2001 個の自然数１,２,３,・・・, 2001 の中から何個かの数を一度に選ぶとき、選んだ数の総和が奇数であるような選び方は何通りあるか。
ただし、１個も選ばないときはその総和は０であると約束する。 また、2001 個すべてを選んでもよい。
(２００１年日本数学オリンピック予選)
解答
・わたしの…
選んだ総数の和が奇数なら…
残りは偶数…
so…
総数が偶数になる場合と同じ…
偶数=偶数+奇数*偶数個
偶数から選ぶ場合の数=1000C0+1000C1+1000C2+…+1000C1000=2^1000
奇数から偶数個選ぶ場合=奇数から奇数個選ぶ場合・・・奇数が1001個なので...
so…
2^1001/2=2^1000
けっきょく…
(2^1000)^2=2^2000通り
でいいはずね ^^
*もっと簡明に言える気がする…?
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円周を６等分する点A，B，C，D，E，Fと内部の点Pがあって、
線分PA，PB，PC，PD，PE，PFで円を６分割します。 その面積が左回りに 8，13，14，S，T，U であるとき、(S，T，U)＝？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37417463.html より Orz〜
[解答1]
△PAB＝a，△PBC＝b，△PCD＝c，△PDE＝d，△PEF＝e，△PFA＝f，正六角形ABCDEF＝6s とし、 円の半径を r，xy平面上で A(2r，0)，D(−2r，0)，BC：y＝r√3，EF：y＝−r√3 とします。 a＋d＝b＋e＝c＋f＝2s で、 ADを a：d に内分する点のｘ座標は (2rd−2ra)/(a＋d)＝(2rd−2ra)/(2s)＝(d−a)r/s だから、 Pは y＝−(√3)｛x−(d−a)r/s｝ 上にあります。 ADを f：c に内分する点のｘ座標は (2rc−2rf)/(f＋c)＝(2rc−2rf)/(2s)＝(c−f)r/s だから、 Pは y＝(√3)｛x−(c−f)r/s｝ 上にあります。 よって、Pのｙ座標を y とすれば、2y＝−(√3)｛x−(d−a)r/s｝＋(√3)｛x−(c−f)r/s｝ 、 2y＝(√3)(d−a)r/s−(√3)(c−f)r/s 、2y/(r√3)＝(d−a−c＋f)/s＝(2s−a−a−c＋2s−c)/s 、 y/(r√3)＝(2s−a−c)/s になります。 b：e＝(r√3−y)：(y＋r√3)＝｛1−y/(r√3)｝：｛y/(r√3)＋1｝ ＝｛1−(2s−a−c)/s｝：｛(2s−a−c)/s＋1｝＝(s−2s＋a＋c)：(2s−a−c＋s) 、 ＝(−s＋a＋c)：(3s−a−c) です。 ここで、(−s＋a＋c)＋(3s−a−c)＝2s ですので、b＝−s＋a＋c 、c＝s＋b−a になります。 c＋k＝(s＋k)＋(b＋k)−(a＋k) ですので、円と正六角形の間の１つの面積を k と考えれば、 円と線分PA，PB，PC，PD，PE，PFで囲まれる部分の面積を a，b，c，d，e，f とし、 中心角が 60ﾟ の扇形の面積を s とした場合も c＝s＋b−a は成り立ちます。 本問では、14＝s＋13−8 ，S＝s＋14−13 ，T＝s＋S−14 ，U＝s＋T−S が成り立ち、 s＝9 ，S＝10 ，T＝5 ，U＝4 、(S，T，U)＝(10，5，4) です。 [解答2] 右図のように、BC，DE，FAを延長してできる正三角形を △KLM、 正六角形ABCDEF＝6s とすれば、△KLM＝9s です。 △PBC＋△PDE＋△PFA＝△PKL/3＋△PLM/3＋△PMN/3 ＝(△PKL＋△PLM＋△PMN)/3＝△KLM/3＝3s 、 △PAB＋△PCD＋△PEF＝正六角形ABCDEF−(△PBC＋△PDE＋△PFA)＝3s 、 円の半径を r，１辺が r の正三角形の高さを h とすれば、rh/2＝s ですので、 △PAB＋△PDE＝△PBC＋△PEF＝△PCD＋△PFA＝r･2h/2＝2s になります。 円と正六角形の間の１つの面積をそれぞれの三角形の面積に加えると、 13＋S＋U＝8＋14＋T ，8＋S＝13＋T＝14＋U になり、 T＝S−5 ，U＝S−6 を 13＋S＋U＝8＋14＋T に代入し、13＋S＋S−6＝8＋14＋S−5 、 S＝10 ，T＝5 ，U＝4 、(S，T，U)＝(10，5，4) です。 ＊これは気づけましたけど…
解答のようにスマートな証明には気づけませんでしたわ ^^;v
正六角形内部の点と対辺でできる三角形の和=正六角形/3
また、半分のどちらかに点Pがあるので、 半径r,高い方の高さx,中心から辺までの距離h として、
半分の面積=2r(x-h)/2+r(2h-x)/2=xh/2
so…正六角形の半分の面積=一つ飛ばしの3個の△の和 それらに同じ扇形を加えても同じことが言えるので... so…8+S=13+T=14+U, 8+14+T=13+S+U 22+T=26+2T-22+13 T=44-39=5,S=10, U=4 けっきょく… (S,T,U)=(10,5,4) |
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画像：http://feely.jp/4294/ より 引用 Orz〜
解答
デジャヴー ^^
・わたしの…
a<=a+2<=a+4<=a+6<=a+8
90-8=82個から5個選べば，
隣り合う場合は+2の数字に変えることで1:1対応できるので…
82C5=27285336 通り
ですね ^^
↑
間違ってます ^^; Orz…
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
82個ではダメです．
1から86までの86個から5つ選び，小さい順にa,b,c,d,eとして， a,b+1,c+2,d+3,e+4とすればよく，86C5通りとなります． 例えば，「1から9までの9枚のカード」であれば， 「1,3,5,7,9」の1通りであり，これは5C5=1(通り)と計算されますね． *う〜ん…どうしてそれでいいのか不消化…^^;…
・鍵コメT様からの解説ぅ〜☆
別の見方も提示してみます．
1から90のうちの選ぶものを○，選ばないものを×とすると，問題の別表現 「5個の○と85個の×を並べる．ただし，○が2つ連続してはいけない．」 が得られます． ×を85個並べ，その間と両端の86箇所から5箇所を選んで○を入れればよく， 場合の数は86C5と分かります． *ようやく納得できましたわ♪
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