アットランダム≒ブリコラージュ

12124：嗅覚…△2つ...

問題12124・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より 引用 Orz〜

図のような、ＡＢ＝ＡＤ、∠Ｂ＝５４°、∠ＢＡＤ＝１０８°である四角形ＡＢＣＤがあります。いま、対角線ＡＣをひいたところ、∠ＢＡＣ＝２４°となりました。このとき、∠ＡＤＣの大きさは何°であるかを求めてください。

解答

ライブ問です…

気づけなかった…^^;

そっかぁ〜上手い方法があるのねぇ☆

12123：整数解の個数...

問題12123(友人問)

方程式a^2*b^2=4a^5+b^3

を満たす整数の組(a,b)はいくつあるか？

解答

・わたしの…

a^2=4a^5/b^2+b

4a^5=mb^2

b^2=4a^3+b^3/a^2

b^3=na^2

(4a^5)^3=(mb^2)^3

(b^3)^2=(na^2)^2

64a^11=m^3*n^2

a=c^2 or a=c^3

m=4,n=c^11 or n=8,m=c^11 or

m=1, n=8*c^11 or n=1,m=4*c^11

b^3=c^11*c^4・・・b=c^5

a=c^2, b=c^5

c^14=4c^10+c^15・・・c^4=4+c^5・・・なし

b^3=8*c^6・・・b=2*c^2

a=c^3, b=2*c^2

4*c^10=4*c^15+8*c^6

c^4=c^9+8・・・なし

a=c^2, b^3=8*c^15・・・b=2c^3

4c^10=4c^10+8c^9・・・なし

a=c^3,b^3=c^6・・・b=c^2

c^10=4c^15+c^6

c^4=4c^9+1・・・なし

*ほんまかいな…^^;…?

*計算させてみると…

(a,b)=(27,486), (27,-243)

ってな解が2個あるんだけど求められない…^^;;…

式からは...あるとしたら，左辺が負、負以外の多くても３個までしかないことは言えるんだけど...整数かどうかまでは言えないし…?

↑

大ウソぉ〜…^^;;…Orz…

↓

・鍵コメN様からのもの Orz〜

a,bの最大公約数をmとすると、a=mp,b=mqとおけます。
p,qは互いに素です。

式に代入して整理すると、
mp^2(q^2-4mp^3)=q^3
p,qは互いに素なので、p=1
よって、
m(q^2-4m)=q^3
式を変形して、
(2m)^2=q^2(m-q)

これより適当な整数kを用いて
m=q+k^2となり、上の式に代入して
2m=qk
連立して、
2k^2=(k-2)q
kが奇数のときは、k-2とkが互いに素なので、k-2=±1となる場合のみ。
kが偶数のときは、k=2nとおいて、
4n^2=(n-1)q
nとn-1は互いに素になるので、
n-1=±1,±2,±4の場合のみ。
合わせて8個

kが奇数なら、
a=k^3/(k-2)
b=2k^5/(k-2)^2
kが偶数なら、

a=4n^3/(n-1)
b=16n^5/(n-1)^2
で与えられます。

*ブラボー☆^^☆

・友人から届いた解答…