アットランダム≒ブリコラージュ

12126：最小値…易問では…^^;…?

問題12126・・・http://blog.goo.ne.jp/0424725533/e/d72a980b0cfd402bdc16fb621d24bf81

より 引用 Orz〜

 　　　　　　　　　実数ａ、ｂ、ｃ、ｄが

 　　　　　　　　　　　をみたすとき、

 　　　　　　　　　のとりうる最小の値を求めよ。

 　　　　　　　　　　 (２０１６年日本数学オリンピック予選)

解答

・わたしの…

さすがにこれは…

(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd))

=(1/2){(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2}

>=0

so…

a^2+b^2+c^2+d^2>=(2+3+4)/2=5/2=Min

^^

↑

なはっ…朝飯前じゃなかったわ ^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2+3+4)/2は5/2ではなく9/2です．ただし，最小値は9/2ではありません．
「(1/2){(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2}>=0」
の等号成立条件はa=b=c=dであり，
(a+b)(c+d)=2,(a+c)(b+d)=3,(a+d)(b+c)=4のときは明らかに不成立です．

a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)^2-((a+b)(c+d)+(a+c)(b+d)+(a+d)(b+c))
=(a+b+c+d)^2-9
なので，(a+b+c+d)^2を最小にすればよい．
a+b+c+d=kとおく．
このとき，(a+b)(k-(a+b))=2より，a+b=xとしてx^2-kx+2=0.
これが実数解をもつから，k^2-8≧0.
同様に，(a+c)(k-(a+c))=3からk^2-12≧0，(a+d)(k-(a+d))=4からk^2-16≧0．
以上よりk^2≧16であり，a^2+b^2+c^2+d^2≧16-9=7.
等号成立には，例えばk=4，a+b=2+√2，a+c=1，a+d=2とすればよく，
a=(1+√2)/2,b=(3+√2)/2,c=(1-√2)/2,d=(3-√2)/2とすればよい．

以上より，最小値は7．

*浅はかだったわ…^^;;… 納得ぅ♪

12125：6桁の上3桁の種類...

問題12125・・・http://blog.goo.ne.jp/0424725533/e/a5f61a676b6d5c717738842c686df5ed より 引用 Orz〜

６桁の平方数の上３桁として考えられるものは全部でいくつあるか。

(２００８年日本数学オリンピック予選)

解答

デジャヴーのはずなのに…?

気づけなかった…^^;;…

・上記サイトより Orz〜

「６桁の平方数をＮ^2とすると、

１０００００≦Ｎ^2＜１００００００
が成り立ち、
３１７≦Ｎ≦９９９
になります。

6桁の平方数で上3桁の数が異なるのは、連続する２つの平方数の差が1000以上の場合なので、連続する平方数の差を調べるのがよいでしょう。

そこで、
（Ｎ＋１）^2−Ｎ^2＝２Ｎ＋１≧１０００
から、
Ｎ≧５００
です。

したがって、５００≦Ｎ≦９９９の場合、連続する平方数の差が１０００以上で上３桁の数は異なるので、その個数は、９９９−５００＋１＝５００個です。

次に、３１７≦Ｎ≦４９９の場合は、連続する２つの平方数の差は１０００より小さいので、６桁の平方数の上３桁は連続します。

そこで、３１７と４９９の平方数を計算すると、それぞれ１００４８９と２４９００１なので、これらの上３桁の数、つまり、１００と２４９の間にある整数はすべて出現することになります。←ここがよくわからないなぁ…^^;…?

したがって、３１７≦Ｎ≦４９９の場合、６桁の平方数の上３桁の個数は、２４９−１００＋１＝１５０個です。

以上から、６桁の平方数の上３桁として考えられるものは、５００＋１５０＝６５０個で、これが答えです。」

・鍵コメT様からの頂いた解説〜m(_ _)m〜v

317^2=100489から499^2=249001までで，隣り合う平方数の差は1000以下より，
例えば「247000台の数から248000台の数をとばして249000台の数へ」
と言ったことは起こりませんね．
これが「上3桁に100から249の間の数はすべて出現」の理由です．

*なるほどでした ^^;☆

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