アットランダム≒ブリコラージュ

12150：逃避数列の和の下４桁...

モク吸えず苦しい当直中…^^;;;

問題12150・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37420646.html#37420646 より Orz〜

　初項が自然数でその下４桁が 2566 、公比が 4 の有限の等比数列があり、

　その和の下４桁が 3886 のとき、末項の下４桁は？

解答

ライブ問です…

自信なし…^^;

　初項を a，末項を L，初項から末項までの和を S とします。

　a≡2566 (mod 10000) より、

　末項 L が第２項であれば S＝a＋4a＝5a≡2830 (mod 10000) で、成り立ちません。　 

　末項 L が第３項であれば S＝a＋4a＋16a＝21a≡3886 (mod 10000) で、成り立ち、

　このとき、L＝16a≡1056 (mod 10000) で、1056 は答の１つです。　　 

　末項 L が第ｎ項であれば S＝a(4ⁿ−1)/(4−1)＝(a･4ⁿ−a)/3 ですが、

　L＝a･4^n-1 なので、S＝(4L−a)/3 、4L＝3S＋a です。

　a≡2566 (mod 10000) ですので、4L≡3･3886＋2566≡4224 (mod 10000) 、

　4L＝4224＋10000k (kは整数) と表され、L＝1056＋2500k＝16(66＋625k/4) です。

　更に、n≧3 なので、L は 第３項 16a の倍数であり、16の倍数ですので、

　k は４の倍数、L≡1056 (mod 10000) になり、末項の下４桁は 1056 に限定されます。


[参考1]

　第ｎ項の下４桁が 1056 であるとき、n＝3＋250k (ｋは負でない自然数) です。

　このことを示しておきます。

　L＝2566･4^n-1＝1283･2^2n-1≡1056 (mod 10000) ですので、

　1283･2^2n-5≡66 (mod 625) 、33･2^2n-5≡66 (mod 625) 、

　66(2^2n-6−1)≡0 (mod 625) 、2^2n-6−1≡0 (mod 625) です。

　自然数ｐ，５と互いに素な自然数ｑ について、

　二項定理より、(5^pq＋1)^m＝(5^pq)^m＋_mＣ_m-1(5^pq)^m-1＋……＋_mＣ₂(5^pq)²＋m(5^pq)＋1 で、

　これは 5^p+1 を法として 1 と合同になる最小の自然数ｍは m＝5 であることを示しています。

　2^m が 5 を法として 1 と合同になる最小の自然数ｍは m＝4 であるので、

　2^m が 5² を法として 1 と合同になる最小の自然数ｍは m＝20 であり、

　2^m が 5³ を法として 1 と合同になる最小の自然数ｍは m＝100 であり、

　2^m が 5⁴ を法として 1 と合同になる最小の自然数ｍは m＝500 です。

　よって、2^2n-6≡1 (mod 625) より、2n−6＝500k 、n＝3＋250k です。


[参考2]

　第ｎ項の下４桁が 1056 であるとき、n＝3＋250k (ｋは負でない自然数) です。

　このことを uch*n*anさんもコメントしてくれました。

　まず，n＝3 で成立するのは明らか。n＝m＋3 とおくと，mod 10000 で，

　2566･4^(m＋3)−1≡1056，1056(4^m−1)≡0，32(4^m−1)≡0，

　この後は mod 625 で，32(4^m−1)≡0，4^m≡1，

　625以下で 625と互いに素な自然数の個数 φ(625)＝5⁴−5³＝500 なので，

　オイラーの定理より，4⁵⁰⁰≡1，(4¹²⁵−1)(4¹²⁵＋1)(4²⁵⁰＋1)≡0，

　ここで，4 のべき乗の下１桁は，奇数べきならば 4，偶数べきならば 6 です。

　そこで，4¹²⁵＋1≡0，だけが可能で，4¹²⁵≡−1，4²⁵⁰≡1，と決まります。

　最小の m は 250 以下ですが，250 を m で割った余り r が 0 でないと 4^r≡1 となって，

　m の最小性に矛盾するので，m は 250 の偶数の約数，2, 10, 50, 250，のどれかですが，

　4²＝16，4⁵＝1024≡400−1，4¹⁰≡−800＋1，4⁵⁰≡−4000＋1，となって，2, 10, 50 はあり得ません。

　これより，m の最小は 250 で，n＝250k＋3，と書けます。

*ちょいいい加減だったか…^^;

一つはすぐ見つけられるも…
他にもあるのかがすぐわからず…

2566
2566*4=0264
0264*4=1056
ここまでで合計=2566+264+1056=3886

以後，4倍の合計で3886になるとしたら，
和の下4桁が0000になる時を経過してる…
で、循環するはず…
それらの数はすべて4の倍数のはずだが，
2566は4の倍数ではないので，循環することはない…
so…なら…^^;
1056のときだけね …

*循環することは…アバウトには…^^;

1056*(4+4^2+…+4^m)=0 mod 10000=2^4*5^4
であればよく…
264*(1+4+4^2+…+4^(m-1))=0 mod 5^4=625
264(4^m-1)/3=88(4^m-1)=0 mod 625
4^φ(625)=4^(5^4-5^3)=4^500=1
これから、L=1056でS=3886は循環することが言えるわけですね ^^

12149：サイコロの目の出方...

何はなくともブラックとモクさえあれば生きていけるぅ〜^^v

問題12149・・・http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=9442%20target= より 引用 Orz〜

一個のさいころをn回振って、出た目を順に記す。この中から任意の２数を取り出すとき、和が4にならない目の出方は何通りあるか。

解答

・わたしの…

簡単過ぎじゃ…^^;

4=1+3=2+2

so…

4,5,6しか出せない…

so…

3^n 通り

のはずね ^^

↑

道理で…間違ってました ^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1が何回出ても，3が出なければ条件を満たします．
また，2も，1回だけなら出ることができます．
条件は，
・1と3が両方出るのは禁止
・2は1回しか出てはいけない
ですね．

2が出ない場合について，4^n+4^n-3^n通り
[1,2なしが4^n通り，2,3なしが4^n通り，1,2,3なしの3^n通りが重複]
2が1回だけの場合について，n*(4^(n-1)+4^(n-1)-3^(n-1))通り
[2が何回目か，それ以外について，1,2がないかまたは2,3がない]
合計，4^(n-1)*(2n+8)-3^(n-1)*(n+3)通りだと思います．

*熟読玩味ぃ〜 ^^;☆