アットランダム≒ブリコラージュ

12153：面積差…パズル ^^

問題12153・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

図のように半径４ｃｍの円の中で、

２本の直線が垂直に交わっています。

色のついた部分と白い部分ではどちらが何ｃ㎡大きいでしょうか？

（第２回算数オリンピック、予選問題より）

解答

デジャヴー ^^

・わたしの…

so…

4*2=8 cm^2 だけ橙が大きいですね ^^

12152：△の旧跡...

スタミナ定食にしてみた…煙もくもく... ^^

問題12152(友人問)

三角形ABCの内部に点Pがある。AP=√3、BP=√5、CP=2

AB:AC=2:1、∠BAC=60°　であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。

ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。

(*注：以下の解答欄のように，この問題の条件ではじっさいは点Pは

△ABCの外部に存在してるのですが…△の面積は求めることができます☆)

解答

・わたしの…

C=(0,0)

P=(x,y)

として、

(√3*a-x)^2+y^2=5

x^2+y^2=4

x^2+(a-y)^2=3

を解けばいいわけだけど…

手計算じゃ解けず…^^;

PCに解かせると…^^;

a^2=2+√33/3

So…

(√3/2)*a^2=√3+√11/2

*上手い方法あるんでしょうか知らん…?

・鍵コメY様からの上手い方法 Orz〜☆

各辺に関してＰと対称な点ともとの三角形の頂点を結ぶと五角形になり、
その面積の半分が求める三角形の面積になりますね。

*なる米味噌☆

これは旨か棒ですねぇ!!

計算も簡単になるし...お気に入りぃ〜^^♪

・たけちゃんさんからのコメント Orz〜

長方形ACBDを作る点Dをとると，平面上の任意の点Pに対して
AP^2+BP^2=CP^2+DP^2となることが分かります．
よって，AP=√3,BP=√5,CP=2であれば，DP=2となって，
PはCDの垂直二等分線上にあります．
一方，AP<BPなので，PはABの垂直二等分線からA側にあることになり，
これからPは三角形ABCの外部にあることが導かれ，
条件に反することになるのではないでしょうか．

so...たしかに，この問題では点Pは△の外部になりますわね ^^;v

・やどかりさんからのコメント Orz〜

Ｐが△ABCの内部にあっても外部にあっても、
できる五角形の面積は△ABCの面積の２倍になります。
面倒なのでそのことに触れず、
> 各辺に関してＰと対称な点ともとの三角形の頂点を結ぶと五角形になり、
> その面積の半分が求める三角形の面積になりますね。
とだけコメントしました。

反対の△からみたらPはその内部となり…

全体で見ると…黄色と橙の△は直角三角形

その間に挟まれた△=√3*AP*BP*sinα/2で等しい

so…点Pは外部でも内部でも五角形の1/2になるのですね ^^☆

and…これらの和でできる四角形の1/4になりますね ^^♪

・友人から届いたもの…

*答の数値が違うし...

＞AB^2=PQ^2+(AP+BQ)^2

の意味がわからない…^^;…?

・たけちゃんさんからの解説ぅ〜Orz〜

AB^2=PQ^2+(AP+BQ)^2であることは，
AP,PQを2辺にもつ長方形APQRを作ってみればわかります．

*たしかに ^^♪

ただし，「BP^2=BQ^2+PQ^2」は，問題文の数値では不成立です．
どうやら，正しくは「BP=5」であったようですね．
その数値であれば，Pは実際に三角形ABCの内部にあり，
条件はすべて成立します．

解法は，友人さんが送られたものは，数値の特殊性をうまく活かした解，
ヤドカリさんの示されたものは，一般性の高い解であり，
いずれも有力であると思います．

なお，スモークマンさんの当初の方法でも解くことは可能です．

C(0,0),A(0,a),B(a√3,0),P(x,y)として，
(a√3-x)^2+y^2=25,x^2+y^2=4,x^2+(a-y)^2=3となって，
2乗の項を消去すると，3a^2-2ax√3=21,a^2-2ay=-1となります．
x=2cosθ,y=2sinθとおくと，
4(√3)acosθ=3a^2-21,4asinθ=a^2+1.
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1だから，
(3(a^2-7)^2)/(16a^2)+((a^2+1)^2)/(4a^2)=1.
これより，a^2=7±2√3となりますが，
斜辺長2aがBP=5より大きいことが必要で，a^2>25/4より，
a^2=7+2√3に確定します．
これより，面積は，(1/2)a・a√3=3+(7/2)√3と求められます．

*思わぬところから思わぬ問題が発生してそれはそれで面白かったですわ ^^☆