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4つの正の整数a,b,c,dについてa=b=c=d でないならば、4つの数
a(1-b)、b(1-c)、c(1-d)、d(1-a) のうち少なくとも1つは
1/4より小さいことを証明せよ。
解答
・わたしの…
8次方程式の根がa,1-a,b,1-b,c,1-c,d,1-d とする…
f(x)=(x-a)(x-(1-a))(x-b)(x-(1-b))(x-c)(x-(1-c))(x-d)(x-(1-d))=0
これらは、1/2を中心に広がっており、
題意のものがすべて1/4以上とすると…
すべての根xは|x|<=1/2 なので…
等しくない限り...それらの根の積<(1/2)^2=1/4
で Q.E.D. ね ^^
ちなみに…
f(1/2)<=0 のはずだが...
じっさいは…
f(1/2)=(a-1/2)^2(b-1/2)^2(c-1/2)^2(d-1/2)^2>=0
なので…a=b=c=d=1/2 のときしか満たさないですね ^^ ・鍵コメT様からのもの Orz〜
問題文「正の整数」は怪しいです．
正の整数であるなら， 1-b,1-c,1-d,1-aはいずれも0以下であり， 4つの数はすべて0以下であって，1/4より小さいことは明らかです． (「a=b=c=dでないならば」も不要な条件です．) 「正の実数」だとして，a(1-b),b(1-c),c(1-d),d(1-a)が すべて1/4以上だとすると，1-b,1-c,1-d,1-aは正に限り， 0<a<1,0<b,1,0<c<1,0<d<1. このとき，0<a(1-a)≦1/4,0<b(1-b)≦1/4,0<c(1-c)≦1/4,0<c(1-c)≦1/4. さらに {a(1-b)}{b(1-c)}{c(1-d)}{d(1-a)}=a(1-a)b(1-b)c(1-c)d(1-d)≧(1/4)^4 が成り立つなら， a(1-b)=b(1-c)=c(1-d)=d(1-a)=1/4,a(1-a)=b(1-b)=c(1-c)=d(1-d)=1/4 となって，a=b=c=d=1/2となります． 対偶をとって，題意は示されています． *すっきり言えてますわね☆
みなさま良いお年を〜m(_ _)m〜
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コメント（1）
