アットランダム≒ブリコラージュ

10601：直角三角形の折り紙...

問題10601・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

10600：垂心の軌跡...

問題10600・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36549536.html#36549536 より Orz〜

　平面上に AB＝93 である線分ABがあって、∠APB＝30ﾟ を満たすように点Pが動くとき、

　△PABの垂心Hの軌跡全体の長さは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36567380.html より Orz〜

[解答1]

　座標平面上で A(−a，0)，B(a，0)，P(p，q)，H(x，y) (a＞0，q＞0) とします。

　ベクトルAP＝(p＋a，q)，ベクトルBP＝(p−a，q) のなす角が 30ﾟ だから、

　(p＋a)(p−a)＋q²＝√｛(p＋a)²＋q²｝√｛(p−a)²＋q²｝cos30ﾟ 、

　2(p²＋q²−a²)＝(√3)√｛(p²−a²)²＋2(p²＋a²)q²＋q⁴｝ 、

　よって、p²＋q²≧a² で、

　4(p²＋q²−a²)²＝3｛(p²−a²)²＋2(p²＋a²)q²＋q⁴｝ 、

　4(p²＋q²−a²)²＝3｛(p²−a²)²＋2(p²−a²)q²＋4a²q²＋q⁴｝ 、

　4(p²＋q²−a²)²＝3(p²＋q²−a²)²＋12a²q² 、(p²＋q²−a²)²＝12a²q² 、

　p²＋q²−a²＝2aq√3 、p²＋q²−2aq√3＋3a²＝4a² 、p²＋(q−a√3)²＝(2a)² です。

　次に、AB⊥PH だから x＝p です。

　また、AP⊥BH だから ベクトル(p＋a，q)⊥(x−a，y) 、(p＋a)(x−a)＋qy＝0 、

　(p＋a)(p−a)＋qy＝0 、p²−a²＝−qy です。

　p²＋q²−a²＝2aq√3 に代入し、q²−qy＝2aq√3 、q＝y＋2a√3 です。

　p²＋(q−a√3)²＝(2a)² (q＞0) に代入し、

　x²＋(y＋2a√3−a√3)²＝(2a)² (y＋2a√3＞0) 、x²＋(y＋a√3)²＝(2a)² (y＞−2a√3) 、

　よって、Hの軌跡は 中心が(0，−a√3)で 半径が 2a の円の y＞−2a√3 の部分で、

　円弧の 5/6 になり、その長さは 2(2a)π･5/6＝5(2a)π/3 です。

　P(p，q) を q＞0 に限定しなければ、P，Hの軌跡の長さは２倍の 10(2a)π/3 になります。

　本問では 2a＝93 なので、10･93π/3＝310π です。


[解答2]

　まず、∠APB＝30ﾟ だから、正三角形のABOを描けば、

　Pの軌跡は 中心がOの優弧AB(端点を含まない)になります。

　直線ABと直線PHの交点をQとすれば、△AQH∽△PQB になるので、

　QA：QP＝QH：QB 、QA･QB＝QP･QH 、

　ここで、直線ABに関して H と対称な点を H' とすれば、QA･QB＝QP･QH' 、

　方べきの定理の逆により、A，B，P，H' は 同一円周上にあります。

　よって、Hの軌跡，H'の軌跡，Pの軌跡は長さが等しく、(2･93π)(5/6)･2＝310π です。


[解答3]

　まず、直線ABのに関して平面の片側だけを考えます。

　正三角形OABを作れば、Oは△PABの外心になり、Pの軌跡はOを中心とする半径 93 の円のうち、

　直線ABに関して Oと同じ側にある部分(右図の青の弧)で、円の 5/6 の円弧になります。

　次に、ABの中点をMとすれば、△PABの重心Gは PMを 2：1 に内分する点で、

　Gの軌跡は Mを相似の中心として Pの軌跡を 1/3 に縮小したもの(右図の緑の弧)になります。

　また、O，G，Hは オイラー線上に この順に並び、OH＝3OG を満たすので、

　Hの軌跡は Oを相似の中心として Gの軌跡を 3倍に拡大したもの(右図の紫の弧)になります。

　従って、Hの軌跡は Pの軌跡を 平行移動したものになり、その長さは等しくなります。

　直線ABのに関して平面の両側で Hの軌跡の長さは、2･93π･(5/6)･2＝310π です。

*しいて言うと…[解答2]に近いのかなぁ ^^;

弦に対称な２個の円を描いて…

二等辺三角形の頂点からの垂線は反対側の円弧上の点が対称点、
弦の両点の垂直選管に頂点があるときは、90-β+90-γ=180-(β+γ)=α
、180-αの点が頂点から弦に降ろした垂線と逆側の円との交点の角に等しくなり…

けっきょく…(5/6)*円周の倍だから...(5/6)*2*93*2*π=310π

・鍵コメY様からのコメント Orz〜

証明の道筋が分かりにくい気がします。
「弧AA'B'A上の点Pに対して、弧A"ABB"上の点Qを PQ⊥AB を満たすようにとれば、Qが△PABの垂心になる」
というようにもっていけばもっとスッキリします。

*そういう風に持って行けばわかりやすくなるのねぇ ^^;☆

わたしのは、点の位置で別証明をしてるので、すっきり感はなかったのよね…Orz〜