こんにちは、ゲストさん
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より Orz〜
問題１
２ｎ個の整数がある。それらの数をｎ個ずつの２組に分けるとき、どう分けても、各組の数の和Ｓ１、Ｓ２の差はｎより小さいとする。このとき、これらの２ｎ個の数のうち、少なくともｎ＋１個は相等しいことを証明せよ。
問題２
ｎを自然数とする。1から２ｎまでの自然数の中からどのように（ｎ＋１）個の
自然数を選んでも、その中に一方が他方を割り切るような２つの数の組が存在
することを示せ。（1993 大阪教育大学入試問題）
解答
ライブ問にてまたいずれ ^^ |
コメント（0）
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円弧の長さが 68 の円の円弧を 8，9，42，9 に分ける点を結んでできる
２本の平行な弦の間(図の水色の部分)の面積は？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36576126.html より Orz〜
[解答1]
半径が R，弧の長さが L の 扇形の中心角は L/R だから、 弓形の面積を S(R，L) とすれば、 S(R，L)＝(1/2)LR−(1/2)R2sin(L/R)＝(1/2)R｛L−Rsin(L/R)｝ です。 本問では、R＝68/(2π)＝34/π 、求める面積は、 S(R，26)−S(R，8)＝(1/2)R｛26−Rsin(26/R)｝−(1/2)R｛8−Rsin(8/R)｝ ＝(1/2)R｛26−Rsin(26/R)−8＋Rsin(8/R)｝ ＝(1/2)R｛18−Rsin(26π/34)＋Rsin(8π/34)｝＝9R＝306/π＝97．402825…… です。 [解答2] 下図のように 半円にし、等積変形すると、 弧の長さが 18 ，半径が 34/π の扇形と面積が等しくなるので、 求める面積は (1/2)･18･34/π＝306/π＝97．402825…… です。 *親しみのある等積移動問題でした ^^
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１９９７ に１以上の整数をかけて、「９」の数字が５個連続してあらわれるような積を作ります。 このような積のうち、もっとも小さいものを求めなさい。
(算数オリンピック １９９７年 ファイナル)
解答
・わたしの…
1997
44667
--------
13979
11982
--------
(133799)
11982
---------
(2331999)
7988
----------
(10319999)
7988
----------
(90199999)
と筆算で求まりますね ^^
but…
その他の解法ってありますの…?
↑
勝手に下５桁が99999と思い込んでましたが…^^;
しかも、計算がおかしかったり…Orz…
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
(T様も同じく下５桁が99999と思われましたのよねぇ ^^…Orz)
筆算は極めて有力です．
途中で「2331999」とあるのは1331999が正しく，結果は少し違っていますが， 方法としてはベストではないかと思います． 「算数」にこだわらなければ，次の方法もあり， 以前も提示したこの方法(合同式で互除法)は，かなり有用な一般的手段です． (が，この問題では，筆算の方がはやそうです．) mod100000で，100000x≡0 …[1],1997x≡-1 …[2]. [1]-50*[2]: 150x≡50 …[3]. [2]-13*[3]: 47x≡-651 …[4]. [3]-3*[4]: 9x≡2003 …[5]. [4]-5*[5]; 2x≡-10666 …[6]. [5]-4*[6]: x≡44667. 44667*1997=89199999. *後半の解法は…熟読玩味ぃ〜^^;☆
・鍵コメY様からのもの Orz〜
問題文を読むと99999が途中にあってもよいと思われます。
まず、1997×2003＝2000²−3²＝3999991 が候補として挙げられます。 最後が99999になる最小のものは、1997×44667＝89199999 、 十万の位〜十の位まで99999になる最小のものは、 1997×446670＝891999990 1997×557336＝1112999992 1997×112669＝224999993 1997×668002＝1333999994 1997×223335＝445999995 1997×778668＝1554999996 1997×334001＝666999997 1997×889334＝1775999998 百万の位〜百の位まで99999になるものは、3999991より大きいので不適、 よって、答は 1997×2003＝3999991 です。 説明の都合上、丁寧に計算しましたが、乗数が2003を超えた時点で除外できます。 *なるほど…問題文からはそうなりますわね ^^;v
1997x2003=2000^2-3^2
ってことがすぐピンと来るのは数覚のなせる技ね♪
・鍵コメT様からのもの Orz〜
我ながら何をやっているんだろう．．．
ついでに，ちょっと付け加えます． mod100000のときと同様の互除法により，以下すべてmod1000000で， 1997x≡1であれば，x≡555333となります． 1997・2003≡999991だから， 1997x≡999990となるとき，x≡2003-555333≡446670 1997x≡999992となるとき，x≡2003+555333≡557336 1997x≡999993となるとき，x≡2003+555333*2≡112669 1997x≡999994となるとき，x≡2003+555333*3≡668002 1997x≡999995となるとき，x≡2003+555333*4≡223335 1997x≡999996となるとき，x≡2003+555333*5≡778668 1997x≡999997となるとき，x≡2003+555333*6≡334001 1997x≡999998となるとき，x≡2003+555333*7≡889334 のように，手計算で十分できますね． *ふ〜む…情けないことにすぐわからないわたし…^^;
ゆっくり嚼んで消化に努めたいと思いまっす ^^☆
・鍵コメY様からのもの Orz〜
「後半は手計算さすがに無理ですよね」無理ではありません。
下６桁に合うように、貴殿のように、 下位から１桁ずつ計算していけば求められます。 下位から４桁計算したところで、2003を超えたら不適です。 計算するとき、1997×1 〜 1997×9 までを表にしておくと楽です。 *そっか!!…
同じように計算すれば求められるわけでした…^^;; Orz〜☆
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