アットランダム≒ブリコラージュ

10624：二進数の回文数...

問題10624・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36570415.html#36570415 より Orz〜

　1，3，5，7，9，15，17，21，27，…… は自然数のうち、２進法で表すと回文数になるものを

　小さい方から並べたものです。

　この数列の 61番目の数は？　また、61番目までの総和は？ 

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36588062.html より Orz〜

　２進法で n桁の自然数の個数を a(n)，その和を S(n) とし、

　n桁以下の自然数の個数を Σa(n)，その和を ΣS(n) とします。

　例えば、２進法で 5桁 または 6桁の回文数の上３桁を２進法で書けば、

　100，101，110，111 ですので、４個あります。

　一般に、２進法で (2n−1)桁 または (2n)桁の回文数の上ｎ桁を考えることにより、

　a(2n−1)＝a(2n)＝2^n-1 であることが分かりますので、

　(2n−1)桁 または (2n)桁までの回文数は、

　奇数桁のものも偶数桁のものも 1＋2＋……＋2^n-1＝2ⁿ−1 個ずつあります。

　従って、Σa(2n)＝2ⁿ⁺¹−2 で、Σa(2n−1)＝2ⁿ⁺¹−2−2^n-1＝3･2^n-1−2 です。

　総和については、S(1)＝1 で、

　回文数は一番上の位と一番下の位は必ず 1 で、その他の位は 0，1 が同数ありますので、

　m≧2 のとき、２進法でｍ桁の数の平均は、

　1＋2^m-1＋(2＋4＋……＋2^m-2)/2＝1＋2^m-1＋(1＋2＋……＋2^m-3)＝1＋2^m-1＋2^m-2−1＝3･2^m-2 になり、

　S(m)＝3･2^m-2･a(m) ですので、

　S(2n−1)＝3･2^2n-3･2^n-1＝3･2^3n-4 、S(2n)＝3･2^2n-2･2^n-1＝3･2^3n-3 、

　ただし、S(1)＝1 だから S(2･1−1)＝3･2^3･1-4−1/2 です。

　3･2^3n-4＋3･2^3n-3＝9･2^3n-4 だから、

　ΣS(2n)＝(9/2)(8ⁿ−1)/(8−1)−1/2＝(9･2^3n-1−8)/7 、

　ΣS(2n−1)＝(9･2^3n-1−8)/7−3･2^3n-3＝(15･2^3n-3−8)/7 です。

　Σa(2･5)＝2⁵⁺¹−2＝62 だから、10桁までの回文数は 62 個で、

　62番目は 1111111111₍₂₎ ですので、61番目は 1111001111₍₂₎＝975 です。

　ΣS(2･5)＝(9･2¹⁴−8)/7＝21064 で、62番目は 1111111111₍₂₎＝1023 だから、

　61番目までの総和は 21064−1023＝20041 です。

*後半はごちゃごちゃと混乱…^^;

n=2m-1, 2m
2^(n-1)
f(m)=g(2m-1)=g(2m)
f(1)=g(1)=g(2)=1
f(2)=g(3)=g(4)=2
f(3)=g(5)=g(6)=4
f(4)=g(7)=g(8)=8
f(5)=g(9)=g(10)=16
(32-1)*2=62
so…
1111111111 が62番目なので、一つ前は…
1111001111=2^10-2^5-2^4-1=975

合計は…
(2^9+1)*(g(8)+g(6)+g(4)+g(2)+1)=(2^9+1)(8+4+2+1+1)
(2^8+1)*(g(7)+g(5)+g(3)+g(1)+1)=(2^8+1)(8+4+2+1+1)・・・(2^9+2^8+2)*16
(2^7+1)*(g(6)+g(4)+g(2)+1)=(2^7+1)(4+2+1+1)
(2^6+1)*(g(5)+g(3)+g(1)+1)=(2^6+1)(4+2+1+1)・・・(2^7+2^6+2)*8
(2^5+1)*(g(4)+g(2)+1)=(2^5+1)(2+1+1)
(2^4+1)*(g(3)+g(1)+1)=(2^4+1)(2+1+1)・・・(2^5+2^4)*4
(2^3+1)*(g(2)+1)=(2^3+1)(1+1)
(2^2+1)*(g(1)+1)=(2^2+1)(1+1)・・・(2^3+2^2)*2
(2^1+1)*1=(2^1+1)*1
1・・・(2^1+2^0)*2^0

so…
合計=(2^9+2^8+2)*16+(2^7+2^6+2)*8+(2^5+2^4)*4+(2^3+2^2)*2+(2^1+2^0)*2^0
=14091

発想を変えて…^^;
10桁の真ん中から下5桁で考える…
11100-00011 と対応
so…
(2^5/2)(2^5-1)*(1+2^5)
=2^4*(2^10-1)
62番目は2^10-1なので…
合計=(2^4-1)*(2^10-1)
=2^14-2^10-2^4+1
=15345

...ってなおかしなことを考えてたり…^^;;

・友人のもの…

先頭は0ではいけないから1、回文数だから最後（1の位）も1である
桁数pのときの回文数となる場合の数をn(p)個
これらの数の総和をs(p)とする
pが偶数、奇数で分ける。
例えばp=8の場合 2〜4番目0,1のどちらでも
後半をこれに合わせればよいからn(8)=2^3個
これら8個の数を縦に並べてそれぞれの位の1の数を求めればよいから
1の位から順番に8,4,4,4,4,4,4,8個
よってs(8)=8+4*2+4*2^2+……..+8*2^7=1536
P=7の場合、まん中はどちらでもよい
2,3番目は偶数の場合と同じでどちらでもよい
結局n(7)=8 s(7)=8+4*2+……..+8*2^6=768
偶奇どちらもpと次のp+2のときを比べると
n(p) は2倍 s(p)は8倍になっている。

n(1)=1 s(1)=1
n(2)=1 s(2)=3
n(3)=2 s(3)=12
n(4)=2 s(4)=24
n(5)=4 s(5)=96
n(6)=4 s(6)=192
n(7)=8 s(8)=768
n(8)=8 s(8)=1536
n(9)=16 s(9)=6144
n(10)=16 s(10)=12288
これで62個になるから
1111111111 の1つ手前で1111001111=975
Σs(i) (1〜10)から1111111111=1023を引いて20041

10623：IQ160のビルゲイツが入社テストで出す問題らしい ^^

問題10623・・・http://www.repeatvids.com/video/?id=on5MlkkUh40 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

5-3=2

3-2=1

5-1=4

^^

いろいろ考えられるものねぇ☆

↓

・yan_yanさんからのもの Orz〜

5l 入りの容器を斜めにして水がこぼれる所まで入れると、５lの半分入るので、

それで２.5l。

次に、３l入りの容器で同様に、半分の水を入れると、それが1.5l。

この二つを足せば、４l。

・やどかりさんからのもの Orz〜

容器の形がどんな形かよく分かりませんが……、
(5Lの容器の水の量，3Lの容器の水の量)で表すと、
(5，0)⇒(2，3)⇒(2，0)⇒(0，2)⇒(5，2)⇒(4，3)⇒(4，0)
という答ですね。
ただ、5Lの容器に水を満タンにすると、水だけでも 5kgあり、
3Lの容器に移すときにこぼれやすいと思いますので、私なら、
(0，3)⇒(3，0)⇒(3，3)⇒(5，1)⇒(0，1)⇒(1，0)⇒(1，3)⇒(4，0)
とします。 

*お二人とも…Good Job !!♪

わたしも別解を考えてみた…^^

容器の体積を無視できるなら…

5Lの中に3Lを入れておいて、満タンにして、3Lの方を取り出し、

残りの水平線を印しておいて、空にした3Lの方に5Lの中の2Lを移し、

5Lの方にその印まで水を入れ、3Lの方の2Lを加えるってのはどう？ ^^;

あなたは天才肌？

画像：http://www.repeatvids.com/video/?id=85NsIkUL-d4 より 引用 Orz〜

なはぁ〜...犬みたいなものにしか見えず...何かに取り憑かれてる…

想像力乏しあるね…^^;…

答えは上記サイトへ Go〜♪

10622：推理…クイズ ^^

問題10622・・・http://www.nakakuki.net/12sirq00.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

Bは犯人でないということ=Bは本当

Cが本当とすると、Dも本当になるので、犯人はCね ^^

10621：当て物…クイズ ^^

問題10621・・・http://www.nakakuki.net/12sirq00.html より 引用 Orz〜

宝の入った箱はどれだろう？

　条件
　・宝の入った箱は１つだけ、他は全てカラの箱
　・宝箱には本当の事が書かれている
　・カラの箱にはうそが書かれている

解答

・わたしの…

青X、黄X、橙X、緑X＝赤本当 ^^

こういうの問題作る方が大変ね？

・鍵コメT様からの最短コースの解答☆

赤，橙の一方は本当．
よって，他はすべて嘘で，黄色が嘘だから赤が宝箱ですね．

*壷を押さえた解法ね ^^♪