アットランダム≒ブリコラージュ

10650：内角がすべて等しい六角形の辺の長さ...

問題10650・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のような内角がすべて等しい六角形ＡＢＣＤＥＦがあります。

辺ＡＦの長さは何cmですか。

（２０１６年　大宮開成中学）

解答

・わたしの…

3+5-2=6 cm ね ^^

10649：内角の等しい五角形の辺の長さの和...

問題10649・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36591160.html#36591160 より Orz〜

　内角がすべて 108ﾟ の 五角形ABCDEがあり、AB＝200，CD＝113，EA＝140 であるとき、

　五角形ABCDEの周囲の長さ(＝５辺の長さの和)は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36608523.html より Orz〜

[準備]

図のように、頂角が 36ﾟ の 二等辺三角形の等辺が底辺の k 倍とすると、底辺は等辺の k−1 倍なので、

　k(k−1)＝1 、これを解けば、k＝(1＋√5)/2 です。


[解答1]

　右上図のように、BC＝x，DE＝y とすれば、kx＋200＝ky＋140＝(kx＋ky＋113)/k 、

　k(k−1)＝1 より k−1＝1/k だから、(kx＋ky＋113)/k＝x＋y＋113/k＝x＋y＋113(k−1) 、

　kx＋200＝ky＋140＝x＋y＋113k−113 、(kx＋200)＋(ky＋140)＝2(x＋y＋113k−113) 、

　k(x＋y)＋340＝2(x＋y)＋226k−226 、(k−2)(x＋y)＝226k−566 、

　(k＋1)(k−2)(x＋y)＝(k＋1)(226k−566) 、(k²−k−2)(x＋y)＝226k²−340k−566 、

　(k²−k−2)(x＋y)＝226(k²−k)−114k−566 、

　(1−2)(x＋y)＝226−114k−566 、x＋y＝340＋114k 、周囲の長さは、

　x＋y＋200＋113＋140＝793＋114k＝793＋114(1＋√5)/2＝850＋57√5＝977．455…… です。


[解答2]

　下図のように、Bを通ってCDに平行な直線とAEの延長との交点をFとし、

　Cを通ってDEに平行な直線とBFとの交点をGとします。

　EF＝AB−AE＝60 、GF＝CD＋EF＝173 、BG＝BF−GF＝kAB−GF＝200k−173 、

　BC＝kBG＝200k²−173k＝200(k²−k)＋27k＝200＋27k 、

　DE＝BC＋EF/k＝200＋27k＋60(k−1)＝140＋87k 、

　AB＋BC＋CD＋DE＋EA＝200＋(200＋27k)＋113＋(140＋87k)＋140＝793＋114k

　 ＝793＋114(1＋√5)/2＝850＋57√5＝977．455…… です。

*[解答2]に近いですが...正五角形を作って考えました…^^

but...解答より面倒だった気がしてます ^^;…

BC=x, DE=y
BC, DEを外側に広げて行くと、全体が正五角形になるときで考える…
正五角形のときの１辺の長さ=200+x=140+y=113+x+y
340+x+y=226+2(x+y)
x+y=114
200+x=140+114-x
2x=54..x=27, y=87
ABとDCの交点でできる△は二等辺三角形で…3個の相似の△で考える…
その交点からB or Cまでの距離をaとする…
227/a=x/(a+27)=a/(a+227)
227/a=y/(a+87)
227(a+227)=a^2
a^2-227a=227^2
(a-227/2)^2=227^2*(1+1/4)
a=227(1+√5)/2
227/a=x/(a+27)・・・x=227(a+27)/a
=y/(a+87)・・・y=227(a+87)/a

x=(427+27√5)/2
y=(367+87√5)/2

200+140+113+(427+27√5)/2+(367+87√5)/2
=850+57√5

*面白かったです♪

10648：3^100≡? (mod 19)...

問題10648・・・http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/100th-power-of-three-modulo-19

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

mod 素数p

a^(p-1)≡1・・・フェルマーの小定理 ^^

so…

3^18≡1

3^100=(3^18)^5*3^10=3^10

3^3=27=8

so…

3^10=(3^3)^3*3=8^3*3=64*24=7*5=35=16

 ^^

上記サイトには...平方剰余の相互法則を使った鮮やかな解法が載ってますが…

平方剰余の法則すでに忘れた…^^;