アットランダム≒ブリコラージュ

10657：7,9,12個入りの3種類の箱...中身の個数が54個...

アイスコーヒーを体が欲したわ…^^;v

問題10657

１箱に７個入り（Ａ）、９個入り（Ｂ）、１２個入り（Ｃ）の温泉まんじゅうを それぞれ何箱か買ったところ、全部で５４個あった。Ａ・Ｂ・Ｃのいずれも少なくとも １箱は買っているとき、Ａ・Ｂ・Ｃはそれぞれ何箱買っているか。 

(東北大学（文系［３］）問題の改変らしい？…)

解答

・わたしの…

7a+9b+12c=54-(7+9+12)=26

26≡2　mod 3

7≡1

so…7個が2箱しかありえない...

so...26-14=12・・・12個の箱が1個

けっきょく…

(A,B,C)=(3箱, 1箱, 2箱)

ね ^^

10656：3^3^3^3^3^3^3^3^3^1≡？ (mod 10)

問題10656

(2016年 東大入試 文科第４問らしい...)

ｎを整数として、以下の（１）〜（３）を求める。 
（１）3^n (３のｎ乗)を10で割った余り 
（２）3^n (３のｎ乗)を４で割った余り 
（３）3^3^3^3^3^3^3^3^3^1 を10で割った余り 

解答

・わたしの…

(1)

(10-1)=3^2

so…

(10-1)^(2m)=3^(4m)=1

(10-1)^(2m-1)=(3^2)^(2m-1)=9

so…

n=4m・・・1

n=4m+1・・・3

n=4m+2・・・9

n=4m+3・・・7

(2)

(4-1)^n≡(-1)^n　mod 4

(3)

3^3^3^3^3^3^3^3^3^1

3^3=3^(4m+1)

3^(3^(4m+1))=3^3

so…

与式=3^3=7　mod 10

ね ^^

10655：コンビネーションの積...

問題10655(友人問)

a+b+c=5　をみたす非負整数の組(a,b,c)すべてについて

17Ca*17Cb*17Cc　を足し合わせたものを求めよ。

ただし演算子を用いず数値で答えて下さい。

解答

・わたしの…

(a,b,c)の組み合わせは…

(1,1,3)

(1,2,2)

(17C1*17C1*17C3)^3+(17C1*17C2*17C2)^3

=17^3*((17*17*8*5)^3+(17*8)^3)

=17^6*(17^3*40^3+8^3)

=7589636454243328

余り面白くない…^^;

↑

大勘違いも甚だしかったです…^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「非負整数」には0も含まれます．
また，「すべてを足し合わせる」なので，
(17C1*17C1*17C3)^3は変であり，^3ではなく*3のはずです．

例えば，17C1は，(x+1)^17を展開した式のxの係数です．
(17C1*17C1*17C3)なら，
(x+1)^17の展開式の，xの係数,xの係数,x^3の係数を順に掛けたものとなります．

結局，求める和は，((x+1)^17)*((x+1)^17)*((x+1)^17)のx^5の係数
であり，51C5となります．
この計算は，まともにやることになりますが，大したことはありません．
2349060になると思います．

付け加えれば，二項定理を利用しなくても説明は可能です．

17人のグループが3つあり，
3グループから，合計5人の委員を選ぶ選び方の数を求めればよく，
51C5が結論です．

*たしかにその意味付けの式だったと理解できました ^^♪

10654：折り紙を切り離す...頭の体操 ^^

問題10654・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

１枚の円形の紙を、直径を折り目にして半分に折り、もう一度ふちがぴったりとそろうように半分に折ります。

（問１）アのように２本の点線にそって切ると、紙は何枚に分かれますか。

（問２）イのように２本の点線にそって切ると、紙は何枚に分かれますか。

（問３）ウのように２本の点線にそって切ると、紙は何枚に分かれますか。

（第１回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの…

(1)

1+2+2=5枚

(2)

1+2+4=7枚

(3)

3枚

ね ^^

10653：平均が10より大きい3個の数の選び方...

問題10653・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

下のように、１０個の数があります。

この１０個の数の中から３個の数を選んだとき、

その平均が１０より大きくなる選び方は何通りありますか。

４　　　７　　　１０　　　１３　　　１７

２３　　　１１　　　１　　　９　　　１５

（２０１６年　東邦大学付属東邦中学）

解答

・わたしの…

1+4・・・なし

1+7+23・・・1

1+9+23・・・1

4+7+23・・・1

4+9・・・23・・・1

7+9・・・15,17,23・・・3

10,11,13,15,17,23・・・6*5*4/3!=20

合計=4*1+3+20=27通り

ね ^^

↑

頭散漫陀仏…^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1+10+23とか，7+11+13とか，いろいろと欠落しています．

9,10,11,13,15,17,23だけでできるものは，9+10+11のみ不適で，
7C3-1=34(通り).
1を使うとき，残り2数の和が30以上より，
23+{17,15,13,11,10,9,7のいずれか},17+{15,13のいずれか}
の9通り．
1なしで4を使うとき，残り2数の和が27以上より，
23+{17,15,13,11,10,9,7のいずれか},17+{15,13,11,10},15+13
の12通り．
1,4なしで7を使うとき，残り2数は，7C2通りのうちで，
和が23以下のもの13+10,13+9,11+10,11+9,10+9を除くので，
7C2-5=16(通り).
合計で，34+9+12+16=71(通り)ですね．

*それにしてもマッハの思考力ねぇ ^^;☆