アットランダム≒ブリコラージュ

10583：勝てばコインをゲット…^^;

問題10583・・・http://www.kimori.net/omosan33.htm より 引用 Orz〜

Ａ、Ｂ、Ｃの３人がコインを何枚かずつ持っています。
この３人がゲームをして、１番になった人だけが、
他の２人からコインを６枚ずつもらうことにします。
Ａが１番になるとＡのコインの枚数は、ＢとＣの合計枚数の２倍になります。
Ｂが１番になるとＢのコインの枚数は、ＣとＡの合計枚数の３倍になります。
Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ何枚ずつコインを持っていますか。

（甲陽学院中　１９９９年）

解答

・わたしの…

A+12=2(B+C-12)

B+12=3(A+C-12)

3A+36=6(B+C-12)

2B+24=6(A+C-12)

3A-2B+12=6B-6A

8B-9A=12

B=A+1+(A+4)/8

6<=A=12,20,28,…

B=15,24,33

C=(A+12)/2+12-B=9,4,-1

so…

A=12, B=15,C=9

*算数じゃどうするんだろ…^^;

10582：2種類の数字だけの7桁以下の個数...

問題10582・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36539134.html#36539134 より Orz〜

　７桁以下の自然数のうち 98988，1001001 のように２種類の数字だけで表される数の個数は？

　数は十進法で表し、555 のように１種類の数字で表される数や 5³ のような式は除きます。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36555826.html より Orz〜

[解答1]

　一般化して、まずｋ桁の数で２種類の数字だけで表される自然数の個数を求めます。

　使われる数字が 8，9 のように、0を含まない場合、数字の決め方が ₉Ｃ₂＝36 通り、

　その並べ方は、どの桁についても２種類で、全部同じ数字を使う場合を除くから、

　36(2^k−2) 個になります。

　使われる数字が 0，1 のように、0を含む場合、数字の決め方が 9 通り、

　その並べ方は、首位以外のどの桁についても２種類で、全部同じ数字を使う場合を除くから、

　9(2^k-1−1) 個になります。

　よって、36(2^k−2)＋9(2^k-1−1)＝81(2^k-1−1) 個です。

　従って、ｎ桁以下の該当する自然数の個数は、次の通りです。

　81(2⁰−1)＋81(2¹−1)＋81(2²−1)＋……＋81(2^n-1−1)＝81(2⁰＋2¹＋2²＋……＋2^n-1−n)＝81(2ⁿ−1−n) 。

　本問では、81(2⁷−1−7)＝81･120＝9720 個です。


[解答2]

　ｋ桁の数で２種類の数字だけで表される自然数の個数を a_k とします。

　まず、a₁＝0 、

　(k＋1)桁の数で、１の位を除いても２種類の数字を含むのが 2a_k 個で、

　１の位以外の数字が１種類であるのは 81個だから、

　a_k+1＝2a_k＋81 、a_k+1＋81＝2(a_k＋81) 、

　数列｛ a_k＋81 ｝は公比が２の等比数列になり、

　a_k＋81＝(a_k＋81)･2^k-1 、a_k＋81＝81･2^k-1 、a_k＝81(2^k-1−1) 、

　k＝1，2，……，n を代入して加えると、

　a₁＋a₂＋……＋a_n＝81(2ⁿ−1−n) 。

　本問では、81(2⁷−1−7)＝81･120＝9720 個です。


[解答3]

　使う数字を a，b として、まずｎ桁以下の数で該当するパターンを求めます。

　a，b ２種類の数字をｎ個並べる方法は、b がｎ個並ぶものを除いて 2ⁿ−1 通り、

　最初のａの前にあるｂを全部消し、ａだけが並ぶｎ個を除けば、2ⁿ−1−n 通りです。

　ａに該当する数字は０以外の９種類，ｂに該当する数字はａ以外の９種類だから、

　9･9(2ⁿ−1−n)＝81(2ⁿ−1−n) 個です。

　本問では、81(2⁷−1−7)＝81･120＝9720 個です。

*わたしゃ地道に…^^;

1〜9までの２個で…9*8/2=36
2^7-2
2^6-2
…

2^2-2
2^1-2
合計=2^8-2*8=256-16=240
36*240=8640

0と1〜9の１個…9
2^7-8=120
120*9=1080

so…
合計=8640+1080=9720

10581：出会い算/旅人算…^^

問題10581・・・http://www.kimori.net/omosan29.htm より 引用 Orz〜

Ａ地点から６０００ｍ離れたＢ地点まで荷車が毎分３０ｍの速さで進む。
荷車が９００ｍ進んだとき、Ａ地点にいるＰ君が、ボール１個を持ち、
荷車を追って出発する。追いつくとそのボールを荷車に乗せて、
すぐ引き返し、Ａ地点でボール１個を受け取り、また荷車を追って出発する。
荷車がＢ地点に着くまで、Ｐ君はこの動きをくり返す。
Ｐ君の速さは毎分９０ｍであるとして、最後に荷車にボールを乗せたのは、
Ｐ君が動き始めてから□分後である。

（灘中　２００７年）

解答

・わたしの…

最後に会った点をx mの地点とすると…

30*(2x/60)+x<=6000

2x<=6000

x<=3000

900+300=1200・・・1回目

30*2400/60=1200・・・2400が2回目

30*4800/60=2400・・・4800が3回目になるから…

最後は、2回目で…(2400-900)/30=50分後 ね ^^

↑

いろいろ瑕疵があるようで ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1回目，荷車の3倍の速さのP君は，1350m地点で追いつき，
そこからA地点まで戻ったとき，荷車は1800m地点まで進む．
2回目は，1回目の2倍だけ荷車が進んでいるので，
2700m地点で追いつき，A地点に戻ったとき，荷車は3600m地点．
3回目はさらに2倍で，5400m地点で追いつき，これが最後．
ここまで，荷車は180分かかり，P君は荷車の30分後に始動したから，
求めるものは，「150分後」．

* トレースできましたぁ ^^;♪