アットランダム≒ブリコラージュ

10716：ウサギと亀の入れ替わり...

問題10716・・・http://www.arp-nt.co.jp/rensai/index-sono63.html より 引用 Orz〜

ある自動車メーカーがAとBの2種類の新車を開発しました。そして、自社のテストコースで100kmの耐久走行テストを行うため、A車とB車を同時にスタートさせることになりました。そこではB車を一定の速度で走らせますが、A車には最初の50kmをB車よりも毎時10km速く走らせ、あとの半分の50kmをB車よりも毎時10km遅く走らせることにしました。この結果、A車とB車は100km地点ではどうなるでしょうか。両者は同時に着くのでしょうか、それともどちらが先に着くのでしょうか。

解答

・わたしの…

これは簡単ね^^

B車が先に着きますね ^^

(A+B)/2=標準の早さSで考えると...

A(S+5)が50km分だけS+5で速く走れるけど…残り50kmは(S-5)kmで走り、

BはAが50km走った時点で50kmより短い距離を(S-5)で走り、残りの50kmより長い距離を(S+5)で走っているのだから、Bの方が早く着くことは明らかね ^^

10715：n<=k^2<=2n ...

問題10715・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/square/square2.htm より 引用 Orz〜

任意の自然数 ｎ に対して、　ｎ 、ｎ＋１ 、ｎ＋２ 、・・・ 、２ｎ　

の中に必ず平方数が存在することを証明せよ。

解答

・わたしの…

n=p*q

p<q

2n=2p*q

p+x=q-y・・・という数が存在するx<y・・・q-p=x+y

(p+x)(q-y)=pq+xq-yp-xy

(p+x)(q-y)-pq=xq-yp-xy>x(q-p)-x^2=x((q-p)-x)=xy>0

(p+x)^2=(p-x)(q-y)=pq-xq-yp+xy

2pq-(p+x)^2=pq+xq+yp-xy

                    =(pq-xy)+xq+yp>0

つまり…

n<(p+x)^2<2n

という平方数は存在する ^^