アットランダム≒ブリコラージュ

10734：特殊相対性理論のパラドックス…^^;

問題10734・・・http://www.arp-nt.co.jp/rensai/index-sono70.html より 引用 Orz〜

前問においてロケットから見れば、地球が光速の80%で近づいてくることになり、そのロケットの1年間では地球が 1 x 0.8＝0.8光年の距離しか接近しない。ロケットと地球間の距離はあくまでも1.3光年隔たっており、これだと爆発までに間に合わないことになって、これは正解と矛盾する。また前問の解説にある電車内の時間の遅れは、光源が電車の中におかれていて、それをあなたが電車の外から見た直角三角形で説明できたが、今度は逆に光源をあなたのいる大地におき、電車の中にいるあなたの友人がその光の軌跡を見れば、まったく同様な形で直角三角形ができ、今度は友人から見るとあなたのいる大地の時間が遅れることになる。これは矛盾する。つまりあなたの友人とあなたの生年月日が同じだとして、あなたの友人が高速のロケットで遠くの星まで行って帰ってくるとすると、あなたから見て高速で運動する友人の時間は遅れるので、帰ってきた友人はあなたより若く、一方、あなたの友人から見ると、高速で運動するのはあなたのほうで、するとあなたのほうの時間が遅れるので、帰ってきた友人よりもあなたのほうが若いという結論が導かれ、矛盾することになる。この2つの矛盾に対し、あなたはどう回答をしますか。

解答

・わたしの...

最初のは、地球が光速の80%でロケットに近づいても1.3光年は1光年いなるわけだから…計算がおかしいはず ^^

後者は、たしかにおかしい話だわ…^^;

お互いに半分のスピードで反対に動くとすると同じ年になっちゃうしなぁ…?

あくまでも、地球の時間を基準にするしかないような…?

アインシュタインさんはここをどう乗り越えられたんでしょねぇ…^^;

光は光速で動くから時間が止まると考えられてるけど…相対的には、光に対して物体の方が光速に動いてると考えたら、物体の時間が止まっちゃう…

but...物体は光速では動けない...∞のエネルギーが必要になるから…

同じ質量の物体が光速の1/2の速さでなら動けるから、互いに向かって近づくと...光速で近づける...相手から見たら…一方が光速で近づいてるから、お互いにそうだから...お互いの時計は止まっちゃう？...んなばかな…^^;

下の保存側を思い出したわ ^^

運動量保存

(m1)(v1)+(m2)(v2)=一定

エネルギー保存の法則

(m1)(v1)^2+(m2)(v2)^2=一定

から考えたら…地球(m1)とロケット(m2)とすると…

(v1)と(v2)を入れ替えると...等式が崩れちゃうから…単純に速さを入れ替えて比べることには無理があるようね…?

but…

これを持ち出しても...質量が同じロケットなら…どうなるんだろね？

それでも...スピードを出したロケットの方の質量は減っちゃうんだけど…

なら、慣性の法則から...ある速さまで燃料を使って、相手と同じ質量になったところで噴射を止めちゃう…とすると、慣性の法則でそのスピードで飛び続けるわけよね？

そのときは、後者のパラドックスが起こりそう…?

10733：集合算…基本 ^^

甘い羊の皮をかぶった狼ビターコーヒービーンズ …

だと思う…^^

問題10733・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

10732：折り紙...元の面積...

舞蝶まだき…^^;

問題10732・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

長方形(図1)の面積を2等分する直線ＭＮを折り目にして折り(図2)、さらに図2の図形の真ん中の線(図の点線)を折り目にしてもう一度折ります(図3）。図3の図形全体の面積はもとの長方形の面積の１/３であり、そのうち青色部分の面積が７ｃ㎡のとき､もとの長方形の面積は何ｃ㎡ですか。

（２００２年算数オリンピック　トライアル問題より）

解答

・わたしの…

1/3-1/4=1/12

(7/2)/(1/12)=42 cm^2

ね ^^

10731：漸化式…a(7000)=?...

問題10731・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html より Orz〜

　a₁＝1，a_n-1＋a_n＝(2n−1)² (n＝2，3，4，……) で表される数列｛ a_n ｝について、a₇₀₀₀＝？ 

解答

どうもアップし損ねていたようです…^^; Orz〜

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36639354.html より Orz〜

[解答1]

　a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆＋……＋a₆₉₉₇＋a₆₉₉₈＋a₆₉₉₉＋a₇₀₀₀＝3²＋7²＋11²＋……＋13995²＋13999²

　a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆＋……＋a₆₉₉₇＋a₆₉₉₈＋a₆₉₉₉＝1＋5²＋9²＋13²＋……＋13997²

　辺々減じて、

　a₇₀₀₀＝(3−1)(3＋1)＋(7−5)(7＋5)＋(11−9)(11＋9)＋……＋(13999−13997)(13999＋13997)

　 ＝2(1＋3＋5＋7＋9＋11＋……＋13997＋13999)＝2･7000²＝98000000 です。


[解答2]

　a_k＋a_k+1＝(2k＋1)² ，a_k-1＋a_k＝(2k−1)² の差をとって、 a_k+1−a_k-1＝8k 、

　ｎを奇数として、k＝2，4，6，……，n−1 を代入して加えると、

　a_n−a₁＝16＋32＋48＋……＋8(n−1) 、

　a_n＝a₁＋16＋32＋48＋……＋(8n−8)＝1＋(16＋8n−8)(n−1)/2/2＝2n²−1 です。

　ｎが偶数のときは、a_n＝(2n−1)²−a_n-1＝(2n−1)²−｛2(n−1)²−1｝＝2n² ですので、

　a₇₀₀₀＝2･7000²＝98000000 です。


[解答3]

　a_k-1＋a_k＝(2k−1)² より a_k-1＋a_k＝2(k−1)²＋2k²−1 、

　両辺に (−1)^k，−(−1)^k-1 の何れかを掛けて、

　−(−1)^k-1a_k-1＋(−1)^ka_k＝−2(−1)^k-1(k−1)²＋2(−1)^kk²＋(−1)^k-1 、

　k＝2，3，4，……，n を代入して加えると、

　−(−1)a₁＋(−1)ⁿa_n＝−2(−1)･1²＋2(−1)ⁿn²＋(−1)＋(−1)²＋(−1)³＋……＋(−1)^n-1 、

　1＋(−1)ⁿa_n＝2＋2(−1)ⁿn²＋(−1)｛1−(−1)^n-1｝/｛1−(−1)｝ 、

　(−1)ⁿa_n＝2(−1)ⁿn²＋1/2−(−1)ⁿ/2 、 a_n＝2n²＋(−1)ⁿ/2−1/2 です。

　よって、a₇₀₀₀＝2･7000²＋(−1)⁷⁰⁰⁰/2−1/2＝98000000 です。


[解答4]

　a₁＝1，a₁＋a₂＝3²，a₂＋a₃＝5²，a₃＋a₄＝7²，a₄＋a₅＝9²，a₅＋a₆＝11²，…… は 図において、

　ｎが偶数のときは ｎ以下の部分の ●の個数，ｎが奇数のときは ｎ以下の部分の ●の個数 です。

　また、図のように 右と下の辺が●の間を通るように正方形を描けば、

　その中の●の個数と●の個数は等しくなります。

　右の辺の上の数(下の辺の左の数)は奇数で、それを n＋1 とすれば、正方形内の●の数は (2n)² 、

　よって、ｎが偶数のとき、a_n＝(2n)²/2＝2n² 、a₇₀₀₀＝2･7000²＝98000000 です。

　なお、ｎが奇数のときは、a_n＝(2n−1)²−a_n-1＝(2n−1)²−2(n−1)²＝2n²−1 です。

*[解答2]でした…^^

a(n-1)+a(n)=(2n-1)^2
a(n)+a(n+1)=(2n+1)^2
a(n+1)-a(n-1)=8n
so…
a(7000)-a(6998)=8*6999
a(6998)-a(6996)=8*6997
…
a(4)-a(2)=8*3

so…
a(7000)=8*(3+5+…+6999)+a(2)
a(2)=3^2-1=8
a(7000)=8*(3500^2-1)+8
=98000000

10730：等式の証明…(数検2級の問題)

3

このカップもお気に入り ^^♪

問題10730・・・https://www.youtube.com/watch?v=T_N0n02ecpU より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

帰納法しか思い付けない…^^

1/1=2*1/(1+1)=1

1/1+1/(1+2)=(3+1)/(1+2)=4/3

k番目の項までが成立するとする…

2k/(k+1)+1/(Σ1[1〜k+1]m)

=2k/(k+1)+1/((k+1)(k+2)/2)

=(2k(k+2)+2)/((k+1)(k+2))

=2(k+1)^2/((k+1)(k+2))

=2(k+1)/(k+2)

^^

・鍵コメY様からのスマートな解法☆

与式=2{/1(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(n*n+1)}

       =2n/(n+1)

*気付けなかったわ…^^;

お気に入り♪