アットランダム≒ブリコラージュ

10736：おむすび碁石積み...

NHK「囲碁フォーカス」の戸島 花さん🌸

AKB48の一期生なんてこたぁつゆ知らず…^^;☆

問題10736・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

白と黒の碁き石で正三角形を作ります。

並べ方は外側の碁石は白で、 内側を黒にします。

図は内側の碁石が１０個の場合です。

内側の黒の碁石が４５個の場合、外側の白の碁石は全部で何個ありますか？

（今年、２０１６年　公文国際学園中等部）

解答

・わたしの…

90=9*10

9段…

白は下に1段、上に2段増えるので…

(13*14-9*10)/2=91-45=46個

^^

10735：折り紙…旧跡…^^;

問題10735・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36642628.html#36642628 より Orz〜

　図のように、１辺が 100以下の正方形の折り紙 ABCD があって、辺AB上の端点以外に点Pをとり、

　D，Pが一致するように折り目 EF をつけると 正方形ABCDは 台形ABFE，台形EFCD に分かれます。

　この 台形ABFE，台形EFCD の面積がともに自然数で、その差が 196 のとき、

　長さの組(AP，PB)として考えられるのは何通り？

　また、その中で 折り目 EF の長さが最長のものについて、(AP，PB)＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36661150.html より Orz〜

[解答1]

　折った状態でのBFとCDの交点をGとすれば、

　BC＋DA＝AB＋CD だから、BG＋GF＋FC＋DE＋EA＝AP＋PB＋CG＋GD 、

　BG＋GF＋FC＋PE＋EA＝AP＋PB＋CG＋GP 、GF＋FC−CG＝(GP＋PB−BG)−(PE＋EA−AP) 、

　△CGF∽△BGP∽△APE ですので、GF＝GP−PE ，FC＝PB−EA ，CG＝BG−AP です。

　次に、△APE＋△BGP−△CGF＝196 なので、EA･AP/2＋PB･BG/2−FC･CG/2＝196 、

　EA･AP/2＋PB･BG/2−(PB−EA)(BG−AP)/2＝196 、PB･AP/2＋EA･BG/2＝196 、

　△BGP∽△APE より BG：AP＝PB：EA 、EA･BG＝AP･PB だから、AP･PB＝196 です。

　ここで、台形ABFE，台形EFCDの面積がともに自然数で、その差が偶数だから、和も偶数、

　正方形ABCDの面積を S とすれば、S≦100² で Sは偶数です。

　AP＋PB＝√S ， AP･PB＝196 だから、 AP，PB を解とする x の２次方程式は、

　x²−(√S)x＋196＝0 になり、その解は x＝｛√S±√(S−784)｝/2 です。

　784≦S≦10000 で S は偶数、S＝784 のとき AP＝(√S)/2 ，S＞784 のとき AP＝｛√S±√(S−784)｝/2 、

　すなわち、S＝784 のとき (AP，PB)は１通り ，S＞784 のとき (AP，PB)は２通りずつありますので、

　全部で 9217 通りです。

　次に、

　EF²＝DP²＝AD²＋AP²＝S＋AP² が最大の場合は、

　APは長い方の ｛√S＋√(S−784)｝/2 をとればよく、これは S について単調増加だから、

　S＝10000 の場合で、

　x＝｛√10000±√(10000−784)｝/2＝(100±96)/2＝98，2 となり、(AP，PB)＝(98，2) です。


[解答2]

　ADの中点をM，BCの中点をN，PからDCにおろした垂線の足をQ，

　PQとMNの交点をO，PQとEFの交点をO とします。

　また、分かりやすくするため、台形ABFEを黄色，台形EFCDを桃色に塗ります。

　EFは線分DPの垂直二等分線になるので、

　長方形APQD内では黄色と桃色の面積が等しく、

　長方形PBCQ内では黄色は半分より台形ONFRだけ大きく、桃色は半分より台形ONFRだけ小さいので、

　黄色は桃色より台形ONFRの２倍の面積大きいことになります。

　台形ONFR＝(OR＋NF)･ON/2＝(EM＋NF)･PB/2＝AP･PB/2 、黄色と桃色の面積の差は AP･PB＝196 です。

　ここで、黄色，桃色の面積がともに自然数で、その差が偶数だから、和も偶数、

　正方形ABCDの面積を S とすれば、S≦100² で Sは偶数です。

　AP＋PB＝√S ， AP･PB＝196 だから、 AP，PB を解とする x の２次方程式は、

　x²−(√S)x＋196＝0 になり、その解は x＝｛√S±√(S−784)｝/2 です。

　784≦S≦10000 で S は偶数、S＝784 のとき AP＝(√S)/2 ，S＞784 のとき AP＝｛√S±√(S−784)｝/2 、

　すなわち、S＝784 のとき (AP，PB)は１通り ，S＞784 のとき (AP，PB)は２通りずつありますので、

　全部で 9217 通りです。

　次に、

　EF²＝DP²＝AD²＋AP²＝S＋AP² が最大の場合は、

　APは長い方の ｛√S＋√(S−784)｝/2 をとればよく、これは S について単調増加だから、

　S＝10000 の場合で、

　x＝｛√10000±√(10000−784)｝/2＝(100±96)/2＝98，2 となり、(AP，PB)＝(98，2) です。

*これは名問じゃないかいなぁ ^^☆

わたしゃ気付けずギブでしたけど…

以下のようにアプローチしてましたです…^^;;

ED=a, FC=b, AP=p
EF=PD で垂直...
50<a<100,0<p<m<=100

m(m-a-b)=196=14^2
98*2・・・a+b=96・・・94個
49*√2*2√2・・・a+b=47√2・・・46個
14√14*√14・・・a+b=13√14・・・12個
28*7・・・a+b=21・・・20個
28√7*√7・・・a+b=27√7・・・26個
so…(94+46+12+20+26)/2=198/2=99個

m^2+p^2=m^2+(a-b)^2
p^2=(a-b)^2
p=|a-b| 
so…a=95, b=1 
so…p=AP=94,BP=98-94=4 

*『黄色と桃色の面積の差は AP･PB＝196』

にまったく気付けなかったなぁ…^^;