アットランダム≒ブリコラージュ

10815：碁石の数...

桜カラーだって🌸

問題10815・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように、ある規則に従って、白と黒の碁石を並べていくとき、

２６番目は、白黒それぞれ何個の碁石がありますか。

（学習院女子中等科　2014年）

解答

・わたしの…

(白、黒)

(1^2,0)-(1^2,2^2)-(3^2,2^2)-(3^2,4^2)-…

so…

26番目は…

(25^2,26^2)=(625,676) ね ^^

10814：数列の極限値...

問題10814・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36685690.html ;

より 引用 Orz〜

　a₁＝2，a_n+1＝2−√(4−a_n) (n＝1，2，3，……) で定義される数列{ a_n }について、

　n→∞　のとき　4ⁿa_n→？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36703521.html より Orz〜

　0＜a_n≦2 のとき 漸化式から 0＜a_n+1≦2 なので、a₁＝2 と併せて、

　a_n＝4sin²θ_n (0＜θ_n≦π/4) とおくことができます。

　a₁＝4sin²θ₁＝2 より sinθ₁＝1/√2 、θ₁＝π/4 です。

　a_n+1＝2−√(4−a_n) より、

　4sin²θ_n+1＝2−√(4−4sin²θ_n)＝2−2cosθ_n 、 sin²θ_n+1＝(1−cosθ_n)/2＝sin²(θ_n/2) だから、

　θ_n+1＝θ_n/2 、θ_n＝θ₁/2^n-1＝π/2ⁿ⁺¹ 、 2ⁿ⁺¹＝π/θ_n になります。

　4ⁿa_n＝4ⁿ⁺¹sin²θ_n＝(π/θ_n)²sin²θ_n＝π²(sinθ_n/θ_n)² となって、

　n → ∞ のとき、θ_n → 0 、sinθ_n/θ_n → 1 だから、4ⁿa_n → π² です。

*何か巧い置き換えがあるはずと思うも気付けず…^^;

おそらく…
cos(2θ)=2(cosθ)^2-1
√(1+cos(2θ))=√2*cos(θ)
√(2+2cos(2θ))=2*cos(θ)
を使うんだろうとまではいろいろ調べて ^^;
思うも…そこからよくわからず…

・ tsuyoshik1942様のもの Orz〜

a1,a2,a3..の計算値の右端の√2,√(2+√2)),√(2+(√2+(√2)))...の並びが45,45/2,45/4..の余弦値*2であることに気づき以下のように処理しました。

a1=2
a2=2-√(2)=2-2cos(π/2^2)=4*sin2(π/2^3)
a3=2-√(2+√2)=2-2cos(π/2^3)=4*sin2(π/2^4）
a4=2-√(2+√(2+√2))=2-2cos(π/2^4)=4*sin2(π/2^5)
.
.
an=2-2cos(π/2^n)=4*sin2(π/2^(n+1))

4^n*anの平方根をとると、2^n*2*sin(π/2^(n+1))
これは、単位円に内接する4角形、8角形、16角形...の半周長の推移をあらわすもので、

2^(n+1)角形の1/2部分の周長となり、n=無限大の時にはπ

*なるほどでっす ^^☆