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n を与えられた自然数とします。
|x|≦n，|y|≦n，|z|≦n，|x＋y＋z|≦1 をすべて満たす整数の組(x，y，z)は何組？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36755296.html より Orz〜
[解答1]
|x|，|y|，|z| の最大値が 0 のものは x＝y＝z＝0 だけです。 |x|，|y|，|z| の最大値が 1 のものは −1，−1，1 または −1，0，0 または −1，0，1 または −1，1，1 または 0，0，1 か その並べかえの 18個です。 k を２以上の自然数とします。 x＝−k，|y|＜k，|z|＜k を満たす(y，z)は x＋y＋z＝−1 になるのは (0，k−1)，(1，k−2)，……，(k−2，1)，(k−1，0) の k個、 x＋y＋z＝0 になるのは (1，k−1)，(2，k−2)，……，(k−2，2)，(k−1，1) の (k−1)個、 x＋y＋z＝1 になるのは (2，k−1)，(3，k−2)，……，(k−2，3)，(k−1，2) の (k−2)個、 の (3k−3)個、x＝k，|y|＜k，|z|＜k の場合も符号を変えて (3k−3)個、 従って、|x|＝k，|y|＜k，|z|＜k の場合は (6k−6)個、 |x|＜k，|y|＝k，|z|＜k の場合，|x|＜k，|y|＜k，|z|＝k の場合も (6k−6)個、 |x|，|y|，|z| の１つが k で 他が k 未満の場合は (18k−18)個です。 |x|，|y|，|z| の２つが k で 他が k 未満の場合は −k，−1，k または −k，0，k または −k，1，k か その並べかえの 18個、 |x|＝|y|＝|z|＝k の場合はありません。 従って、|x|，|y|，|z| の最大値が k のものは k＝1 の場合を含めて 18k 個あります。 求める場合の数は、 1＋(18＋36＋54＋……＋18n)＝1＋18n(n＋1)/2＝9n2＋9n＋1 です。 [解答2] Nemoさんのコメントより 一般に 0以上の整数 A，B，C が A＋B＋C＝K を満たす (A，B，C) の個数は KＨ2＝(K＋1)(K＋2)/2 です。 |x|≦n，|y|≦n，|z|≦n より −n≦x≦n，−n≦y≦n，−n≦z≦n 、 0≦x＋n≦2n，0≦y＋n≦2n，0≦z＋n≦2n です。 ここで、|x＋y＋z|≦1 より、x＋y＋z＝−1，0，1 、 (x＋n)＋(y＋n)＋(z＋n)＝3n−1，3n，3n＋1 、 0≦x＋n，0≦y＋n，0≦z＋n の条件での (x＋n，y＋n，z＋n) の個数は 3n(3n＋1)/2＋(3n＋1)(3n＋2)/2＋(3n＋2)(3n＋3)/2＝(27n2＋27n＋8)/2 です。 このうち、x＋n＞2n の場合、(x−n−1)＋(y＋n)＋(z＋n)＝n−2，n−1，n 、 (x−n−1，y＋n，z＋n) の個数は (n−1)n/2＋n(n＋1)/2＋(n＋1)(n＋2)/2＝(3n2＋3n＋2)/2 で、 y＋n＞2n，z＋n＞2n の場合も同数あり、 x＋n＞2n，y＋n＞2n，z＋n＞2n のうち２つ以上が同時に成り立つことはありません。 よって、求める個数は、(27n2＋27n＋8)/2−3(3n2＋3n＋2)/2＝9n2＋9n＋1 です。 [解答3] ｚを消去して格子点の個数を求めると |x＋y＋z|≦1 より、x＋y＋z＝−1，0，1 、−z＝x＋y＋1，x＋y，x＋y−1 、 |z|≦n より −n≦−z≦n です。 −z＝x＋y＋1 のとき、−n≦x＋y＋1≦n 、−n−1≦x＋y≦n−1 、 −z＝x＋y のとき、−n≦x＋y≦n 、 −z＝x＋y−1 のとき、−n≦x＋y−1≦n 、−n＋1≦x＋y≦n＋1 、 |x|≦n，|y|≦n の範囲でこの３通りの格子点の数の和は、 3(2n＋1)2−2･(n−1)n/2−2･n(n＋1)/2−2･(n＋1)(n＋2)/2＝9n2＋9n＋1 個です。 [解答4] 直接空間の格子点の個数を求めると まず、図のような 外側の辺の●の個数を a，b，a，b，a，b である六角形状に並んだ●の個数は、 ｛1＋2＋3＋……＋(a＋2b−2)｝−3｛1＋2＋3＋……＋(b−1)｝ ＝(a＋2b−2)(a＋2b−2)/2−3(b−1)b/2＝(a2＋4ab＋b2−3a−3b＋2)/2 です。 空間座標で 立方体 −n≦x≦n，−n≦y≦n，−n≦z≦n の中の格子点で、 平面 x＋y＋z＝0，x＋y＋z＝1，x＋y＋z＝−1 上にあるものの個数を求めます。 立方体と x＋y＋z＝0 の共通部分は ６点(0，n，−n)，(n，0，−n)，(n，−n，0)，(0，−n，n)，(−n，0，n)，(−n，n，0)を 頂点とする六角形で、１辺に並ぶ格子点の数は n＋1，n＋1，n＋1，n＋1，n＋1，n＋1 、 六角形の格子点の数は ｛(n＋1)2＋4(n＋1)(n＋1)＋(n＋1)2−3(n＋1)−3(n＋1)＋2｝/2＝3n2＋3n＋1 、 立方体と x＋y＋z＝1 の共通部分は ６点(1，n，−n)，(n，1，−n)，(n，−n，1)，(1，−n，n)，(−n，1，n)，(−n，n，1)を 頂点とする六角形で、１辺に並ぶ格子点の数は n，n＋2，n，n＋2，n，n＋2 、 六角形の格子点の数は ｛n2＋4n(n＋2)＋(n＋2)2−3n−3(n＋2)＋2｝/2＝3n2＋3n 、 立方体と x＋y＋z＝−1 の共通部分の六角形の格子点の数も 3n2＋3n です。 従って求める格子点の個数は、(3n2＋3n＋1)＋2(3n2＋3n)＝9n2＋9n＋1 です。 *わたしゃ...わけわからぬことを考えてたようで…^^;
|x+y|<=n なら…|x+y+z|=1 となるzは一意に決まるので...
ピックの定理… |x+y|<=n の内部の点aと辺上の点bを数える… a+b/2-1=2n^2 b=4(n-1)+4=4n so... a+b=2n^2+2n+1 これらから選ばれた3点は2点が同じもの以外は3!になるので… 2点が同じものの個数を数える… x=y・・・2[n/2]+1個 so… 3!*(2n^2+2n+1-2[n/2]-1)+3*(2[n/2]+1) nが偶数=2mのとき 3!(2n^2+n)+3*(n+1)=12n^2+9n+3 nが奇数=2m-1のとき 3!(2n^2+n+2)+3*(n-1)=12n^2+9n+9 その後…
|x+y|<=n+1を満たせば zは一意に決まるのでした…^^;
2(n+1)^2=a+2(n+1)-1 頂点は満たさないので… 内部の点=a+2(n+1)-4=2(n+1)^2+1-4=2n^2+4n-1 x=y 上の点の個数=2[(n+1)/2]+1 nが偶数=2mの場合…x=y上の点の個数=n+1 3!*(2n^2+3n-2)+3*(n+1)=12n^2+21n-9通り nが奇数=2m-1の場合…x=y上の個数=n+2 3!*(2n^2+3n-3)+3(n+2)=12n^2+21n-12通り で…撃沈…^^;;
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