アットランダム≒ブリコラージュ

10901：旧跡...円の分割...

問題10901・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図のように，半径６ｃｍの円周上に４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあります。

ABとCDは長さが等しく平行です。

斜線部分2ケ所の周の和が白い部分の周より，円周の長さの２/３だけ長いとき，

斜線部分2ケ所の面積の和を求めなさい。

（開成中学　２０１１年）

解答

・わたしの…

10900：移動面積...

問題10900・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

１辺の長さが３０ｃｍの正方形ＡＢＣＤを、

その向きを保つたまま (回転することなく)

図１のように、点Ａを、まっすぐ点Ｏまで動かしたとき、

正方形の辺が通過した部分は、図２のしや線部分のようになります。

この部分の面積は何ｃ㎡ですか。

（今年、２０１６年　栄光学園中学）

解答

・わたしの…

30^2*2-30^2/4

=900*(7/4)

=1575 cm^2

^^

↑

ミスってました ^^; 

赤字で訂正 Orz〜

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜v)

10899：格子点単位直角二等辺三角形を格子点中心に90°回転...

問題10899(友人問)

座標平面上の格子点全体を考える。勝手な1つの格子点を選び、

この点を中心に反時計回りに90°回転する操作が許されている。

この操作（回転の中心は毎回異なってもよい）を適当に何回か行って、

(0,0)　(1,0)　(0,1)　を頂点とする三角形を、(0,0)　(1,0)　(1,1)

を頂点とする三角形に移動すること（頂点は対応していなくてもよい）

は可能か？

解答

・わたしの…

これは簡単では…?

点O：(1/2,1/2)　以外では、BがCになるには、90°より小さい回転角度しかありえない…so...格子点では無理ね ^^

じゃ、アバウトすぎますかいねぇ ^^;

・鍵コメT様からのなるほどの解法☆

回転を繰り返すので，回転角の大きさで議論するのは難しいと思います．

x+yが偶数である格子点を偶点，x+yが奇数である格子点を奇点と名付ける．
(0,0)中心の90°回転により，(a,b)は(-b,a)に移り，
(p,q)中心の90°回転により，(a+p,b+q)は(-b+p,a+q)に移るから，
格子点中心の90°回転により，偶点は偶点に，奇点は奇点に移る．
よって，奇点2つと偶点1つである(0,0),(1,0),(0,1)は，
偶点2つと奇点1つである(0,0),(1,0),(1,1)に移すことはできない．

*お気に入り♪

10898：1000以下の自然数の2次ソート...

問題10898・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36747454.html#36747454 より Orz〜

　1000×1000 のマス目があって、どの行も左のマス目から順に どの列も上のマス目から順に、

　1000以下の自然数のうち、記入するマス目と 同じ行の左のマス目と同じ列の上のマス目に

　記入されてる自然数以外の、最大のものを記入します。 

　ただし、そのような 1000以下の自然数がないときは「×」を記入します。

　例えば、黄色で示した「997」はその上や左の赤の数以外の、1000以下の最大の自然数です。

　このようにして全部のマス目に 1000以下の自然数または「×」が記入された状態で、

　(1) 「992」が書かれているマス目は何個？　　(2) 「×」が書かれているマス目は何個？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36763197.html より Orz〜

[準備]

　まず、使用する文字は 負でない整数とします。

　1000以下の自然数のうち最大のもののかわりに、負でない整数のうち最小のものを記入すれば、

　下の表のようになり、上下の表で対応するマス目の数の和は 1000になります。

　ただし、下の表で 1000以上の数のマス目に対応する上の表のマス目は「×」です。

　下の表では、例えば 赤で示した「５」と同じ行の一番左が「３」で同じ列の一番上が「６」ですが、

　２進法では 3＝011₍₂₎ ，6＝110₍₂₎ ，5＝101₍₂₎ ですので、

　3 と 6 の２進法で桁毎の排他的論理和( V )が 5 になります。 3 V 6＝5 です。

　排他的論理和とは、0 V 0＝1 V 1＝0 ，0 V 1＝1 V 0＝1 とする演算で、

　整数 x，y，z について x V y＝y V x ，x V y＝z のとき x V z＝y が成り立ちます。

　( x V y を x ＾ y ，x xor y ，bitxor(x，y) と表すこともあります )

　また、下の表では一般に、

　表に書かれた各数を X，同じ列の一番上の数を T，同じ行の一番左の数を L とすれば T V L＝X ……(*)

　が成り立ちます。

　まず、表のすべての数において、(*)が成り立つことを示します。

　例えば、黄色で示した左上の 4×4 の部分で成り立つ事を確かめておけば、

　その右や下の水色で示した 4×4 の部分は 黄色の各数に 4＝100₍₂₎ を加えたもので、

　その右下のピンクで示した 4×4 の部分は 黄色の各数と同じですので、

　8×8 の部分でやはり(*)が成り立ちます。

　同様に、(*)が、左上の 2ⁿ×2ⁿ で成り立てば、 2ⁿ⁺¹×2ⁿ⁺¹ で成り立ちます。 

　こうして、表のすべての数について(*)が成り立ちます。


[解答]

　999＝1111100111₍₂₎，1000＝1111101000₍₂₎ です。

(1) 上の表で「992」が書かれているマス目の個数について、

　対応する下の表のマス目には「8」が書かれていますので、

　x≦999，y≦999，x V y＝8 を満たす(x，y)の組数を求めることになります。

　x V y＝8 より x V 8＝y 、x V 8≦999 、

　x V 1000₍₂₎≦1111100111₍₂₎ です。

　1111100000₍₂₎≦x≦1111100111₍₂₎ だけが適さないので、1000−8＝992 個です。

(2) 上の表で「×」が書かれているマス目の個数について、

　対応する下の表のマス目には 1000以上の数が書かれていますので、

　x≦999，y≦999，x V y＞999 を満たす(x，y)の組数を求めることになります。

　x V y＝z とすれば x V z＝y になり、

　x，y は２進法で 10桁以下なので、z≦2¹⁰−1＝1023 だから、

　x≦999，1000≦z≦1023，x V z≦999 を満たす(x，z)の組数を求めます。

　1111101000₍₂₎≦z≦1111111111₍₂₎，x V z≦1111100111₍₂₎ であり、

　各 z について x は、

　100000₍₂₎≦x≦1111100111₍₂₎ の場合 999−31＝968 通りと

　x≦11111₍₂₎ かつ x，z の下位から 4，5桁目が等しい 8 通りの 976 通り、

　よって、976･24＝23424 通りあります。

*これは達磨さんが転んだでしたわ…^^;

熟読玩味ぃ…☆