アットランダム≒ブリコラージュ

10924：7777の倍数である最小のΣ100^k ...

問題10924・・・☆オリジナルの高校数学の問題を掲載していきます☆ http://mm2445.blog.fc2.com/blog-entry-41.html#comment2385 より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

10923：場合の数...碁石の対角線配置...

問題10923・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36767650.html#36767650 より Orz〜

　図は碁石を２個を 7×10 の方眼の中に斜め45ﾟの位置に配置した２つの例です。

　このような配置の仕方は全部で 308 通りあります。

　では、m≦n として、碁石を２個を m×n の方眼の中に斜め45ﾟの位置に配置する方法が

　6528 通りのとき、自然数の組(m，n)＝？

　ただし、明らかな (m，n)＝(2，3265) を除きます。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36784452.html より Orz〜

[解答1]

　まず、 7×10 の方眼の中に、右側の石が上にあるような配置の仕方は、

　黄色の部分では、図のように番号を書き込むと、1 〜 7 の自然数から３個を選び、

　例えば 6，4，1 を選ぶと 64，61 に碁石を置けばよいので、₇Ｃ₃＝35 通りです。

　これば水色の部分でも同じです。

　ピンクの部分では 同じ斜めの筋に２個の碁石を置けばよいので、₇Ｃ₂＝21 通りです。

　また、斜めの筋は 10−(7−1)＝4 個あります。

　さらに、右側の石が下にあるような配置の仕方も同数あります。

　従って、配置の仕方は全部で 2(2･35＋4･21)＝308 通りです。

　同様に考えて、m×n の方眼では、

　2･｛2･_mＣ₃＋(n−m＋1)･_mＣ₂｝

　 ＝2･｛2m(m−1)(m−2)/6＋(n−m＋1)m(m−1)/2｝＝2m(m−1)(m−2)/3＋(n−m＋1)m(m−1)

　 ＝｛2(m−2)＋3(n−m＋1)｝m(m−1)/3＝m(m−1)(3n−m−1)/3 通りです。

　よって、m(m−1)(3n−m−1)/3＝6528 、m(m−1)(3n−m−1)＝3･6528＝2⁷･3²･17 です。

　ここで、m，m−1 の片方は奇数で、

　2⁷･3²･17 の約数で奇数のものは 1，3，9，17，51，153 ですので、

　m＝1，3，9，17，51，153 とすれば m−1 も 2⁷･3²･17 の約数になるのは m＝3，9，17 、

　m−1＝1，3，9，17，51，153 とすれば m も 2⁷･3²･17 の約数になるのは m＝2，4，18 、

　(m，3n−m−1)＝(2，9792)，(3，3264)，(4，1632)，(9，272)，(17，72)，(18，64) 、

　(m，3n)＝(2，9795)，(3，3268)，(4，1637)，(9，282)，(17，90)，(18，83) 、

　(m，n)＝(2，3265)，(3，3268/3)，(4，1637/3)，(9，94)，(17，30)，(18，83/3) 、

　(m，n)＝(2，3265) と自然数でないものを除き、(m，n)＝(9，94)，(17，30) です。


[解答2]

　m×m の方眼の縦横の線でできる 2×2 以上の正方形の数は、

　m×m が 1² 個，(m−1)×(m−1) が 2² 個，……，2×2 が (m−1)² 個の、

　1²＋2²＋……＋(m−1)²＝(m−1)m(2m−1)/6 個です。

　方眼を１列増やして 増える 2×2 以上の正方形の数は、

　m×m が 1 個，(m−1)×(m−1) が 2 個，……，2×2 が (m−1) 個の、

　1＋2＋……＋(m−1)＝(m−1)m/2 個です。

　よって、m×n の方眼の縦横の線でできる 2×2 以上の正方形の数は、

(m−1)m(2m−1)/6＋(n−m)(m−1)m/2＝｛(2m−1)＋3(n−m)｝(m−1)m/6＝(m−1)m(3n−m−1)/6 個、

　正方形の隅に斜めに２個の碁石を配置する方法は２通りずつあるので、(m−1)m(3n−m−1)/3 通り、

　あとは [解答1]と同じです。

*[解答1]の発想は素敵ですね♪

わたしゃ...とにかく計算しちゃいました ^^;v

2*(2C2+3C2+…+(m-1)C2)+(n-m+1)*(mC2)
=(m-1)m(2m-1)/6-(m-1)m/2+(n-m+1)m(m-1)/2
=(m-1)m(m-2)/3+(n-m+1)m(m-1)/2
=m(m-1)((m-2)/3+(n-m+1)/2)
=3264
m(m-1)(3n-m-1)=6*3264
m=n…=27.6…
m=2〜27までPCで計算させると…Orz...
m=2,n=3265
m=9,n=94 
m=17,n=30

10922：格子柄に配置する...

問題10922・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/2016/04/post-99cf.html

より Orz〜

縦２３ｃｍ、横２３ｃｍの枠を

１辺が１ｃｍの正方形のタイルを使ってすべて埋めるこ とを考えます。

タイルには数字が書かれています。

タイルに書かれている数字が「１」か「２」の場合、次の規則てタイルをはめます。

規則１ 　枠の左上に、「１」のタイルをはめる。

規則２　「１」のタイルの右と下には「２」のタイルをはめる 。

規則３　「２」のタイルの右と下には「１」 のタイルをはめる。

（１）Ａにはめるタイルは「１」、「２」どちら のタイルですか。

(２) 最後まではめたとき、「１」のタイルと「２」 のタイルではどちらが何枚多いてすか

（海陽中等教育学校　２０１２年）

解答

・わたしの…

(1)

(x,y)=偶数のとき 1,奇数のとき 2 なので、

A:(23,23)=偶数=1

(2)

偶数「1」=偶数+偶数,奇数+奇数

11*11+12*12=121+144=265

23^2=529

so…奇数[2」=529-265=264

or

市松紋様だから…

22*22+11*4+1=529

so…

(529-1)/2=「2」

(529-1)/2+1=「1」

ね ^^

もう寝る…OrZzzz...