アットランダム≒ブリコラージュ

10989：6で割った余りの合計が2016...

問題10989・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

整数Xを６で割ったときの余りを＜X＞で表すことにします。 

 例えば、＜２＞＝２、＜９＞＝３、＜１２＞＝０　になります。

このとき、

＜１＞＋＜２＞＋＜３＞＋＜４＞＋＜５＞・・・・・＋＜X＞＝２０１６

となるXはいくつになりますか？

（２０１６年　東京電機大学中学）

解答

・わたしの…

(1+2+3)+4+5=15

so…

2016/15=134…6

so…

6*134+3=807

^^

10988：花壇の周囲の長さ...

問題10988・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

長方形の花だんがあります。

この花だんの４つの角に支柱を立て、

その間に６０ｃｍ間隔で支柱を立てたところ、支柱は全部で３２本必要 でした。

この花だんの周囲の長さは何ｍですか。

（２０１６年　田園調布学園中等部）

解答

・わたしの…

円と同じだから…

間隔も同じく32なので…

60*32=1920 cm =19.2 m

^^

↑

ミスってましたぁ…^^; Orz…

(鍵コメta様、ご指摘グラッチェ〜m(_ _);m〜v)

10987：２つの数列｛ an ｝,｛ bn ｝...

問題10987・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36810217.html より Orz〜

　２つの数列｛ a_n ｝，｛ b_n ｝ があって、n＝2，3，4，…… について、

　a_n＝10a_n-1＋n ，b_n＝10b_n-1＋10−n を満たしています。

　a₁＝1 ，8a₁₀₀₀＋1000＝b₁₀₀₀ のとき、b₁＝？　b₂＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36827856.html より Orz〜

[解答1]

　a_n＝10a_n-1＋n より

　a_n＋n/9＋10/81＝10a_n-1＋10n/9＋10/81＝10a_n-1＋10(n−1)/9＋100/81 、 

　a_n＋n/9＋10/81＝10｛a_n-1＋(n−1)/9＋10/81｝ だから、 

　数列｛ a_n＋n/9＋10/81 ｝は 公比 10 の等比数列になり、

　a_n＋n/9＋10/81＝(a₁＋1/9＋10/81)･10^n-1＝10ⁿ⁺¹/81 、a_n＝(10ⁿ⁺¹−10−9n)/81 です。

　a_n＋b_n＝10(a_n-1＋b_n-1)＋10 より

　a_n＋b_n＋10/9＝10(a_n-1＋b_n-1)＋100/9 、

　a_n＋b_n＋10/9＝10(a_n-1＋b_n-1＋10/9) だから、

　数列｛ a_n＋b_n＋10/9 ｝は 公比 10 の等比数列になり、

　a_n＋b_n＋10/9＝(a₁＋b₁＋10/9)･10^n-1＝(b₁＋19/9)･10^n-1 、a_n＋b_n＝(b₁＋19/9)･10^n-1−10/9 です。

　8a₁₀₀₀＋1000＝b₁₀₀₀ だから、

　9a₁₀₀₀＋1000＝a₁₀₀₀＋b₁₀₀₀ 、(10¹⁰⁰¹−10−9000)/9＋1000＝(b₁＋19/9)･10⁹⁹⁹−10/9 、

　10¹⁰⁰¹/9＝(9b₁＋19)･10⁹⁹⁹/9 、b₁＝9 、b₂＝10b₁＋10−2＝10･9＋8＝98 です。

　なお、a_n＋b_n＝(10ⁿ⁺¹−10)/9 になり、b_n＝(8･10ⁿ⁺¹＋9n−80)/81 です。


[解答2]

　8a_k＋k−b_k＝8(10a_k-1＋k)＋k−(10b_k-1＋10−k)＝80a_k-1＋8k＋k−10b_k-1−10＋k

　 ＝80a_k-1＋10k−10−10b_k-1＝10(8a_k-1＋k−1−b_k-1) だから、

　8a_k＋k＝b_k ⇔ 8a_k-1＋k−1＝b_k-1 です。

　8a_n＋n＝b_n が n＝1000 のときに成り立つので、すべての自然数 n について成り立ちます。

　よって、b₁＝8a₁＋1＝8･1＋1＝9 、b₂＝10b₁＋10−2＝10･9＋8＝98 です。


☆ 元ネタは上の図の等式です。

*手品みたいな式変形ね ^^;

種を見てもこんなことは思い付けず…^^:☆

10986：33^p≡？ (mod 90)...

問題10986・・・水野先生のサイト「水の流れ」http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html ;

より Orz〜

問題１　ｐを自然数としたとき、３３^ｐを１０で割った余りを求めよ。

 

問題２　ｐを自然数としたとき、３３^ｐを９０で割った余りを求めよ。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

10985：菱形内部の正方形7個...

問題10985・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

１辺が２㎝の正方形を７つ並ぺて、下の図のようなひし形を作るとき、

斜線部分の面積の合計は何ｃ㎡ですか。

（２０１５年　青稜中学）

解答

・わたしの…

正方形５+1/4個分だから…

2^2*(5+1/4)=20+1=21 cm^2

^^