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10993：捻れの辺のペア…６面体...

問題10993・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より引用 Orz～

図は一つの６面体です。

辺ABと辺DCはどの頂点も接することはありません。

このようなABとDCを「交わらない一組」と考えたとき、

この６面体にはABとDCの交わらない一組を含めて

全部で何組「交わらない一組」がありますか。

（第１１回算数オリンピック　ファイナル問題より）

解答

・わたしの…

AB//DCなら、平面ABE上の他の線分も//

so…AE//DC,BE//DC

同様に、

AB//CE…

so…AD//CE, BD//CE

これが、BC,CAでも言えるので…

けっきょく…

6*3=18ペアになるわけね ^^

↑

間違ってました ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

問題文では，共有点を持たない2辺を「交わらない一組」と言っています．
ABとDCは平行ではないのですが，
共有点を持たないことをAB//DCと表しているのでしょうか?

交わらない組として，
{AB,DC},{AE,DC},{BE,DC},{AB.CE},{AD,CE},{BD,CE}
があるのは正しいですが，これを120°回転して
{BC,DA},{BE,DA},{CE,DA},{BC,AE},{BD,AE},{CD,AE}
とすると，{AE,DC}={CD,AE},{AD,CE}={CE,DA}の重複が生じます．
さらに120°回転すると，新たに4組の重複が生じるので，
18-6=12(組)が正しいと思います．

四面体ABCDの辺だけでできる組は，{AB,CD},{AC,BD},{AD,BC}の3組．
四面体ABCEの辺だけでできる組も3組．
それ以外は，DAとEBまたはEC,DBとEAまたはEC,DCとEAまたはEBの6組．
合計3+3+6=12(組)ですね．

*そっかぁ…^^;

たしかに、

＞共有点を持たない2辺を「交わらない一組」

という意味ですわねぇ…

so…

9C2-(3*2*2+4*3*3)/2=36-24=12

と考えられるのでしたのね ^^;v

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10992：ピラミッドの塗り絵...

問題10992・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ よりより Orz～

図のように、白、赤、青のタイルを

１行目は白１枚

２行目は左から白、赤、青の３枚

３行目は左から白、赤、青、白、赤の５枚

というように、白、赤、青の順番に並べていきます。

（１）１０行目の１番右のタイルは何色ですか。

（２）１行目から１４行目までタイルを並べたとき、

青色のタイルは全部で何枚ありますか。

（大妻中学　2013年）

解答

・わたしの…

n段目は、2n-1枚

左から

3m-2枚目=白

3m-1枚目=赤

3m枚目=青

(1)

10段目は、19枚

so…

19/3=6…1・・・白

(2)

14段目は、27枚

[1/3]+[27/3]=9

[3/3]+[25/3]=9

[5/3]+[23/3]=8

[7/3]+[21/3]=9

[9/3]+[19/3]=9

[11/3]+[17/3]=8

[13/3]+[15/3]=9

so…

9*7-2=62

もっとシンプルに求められないか知らん…^^;

↑

赤字で訂正 ^^;

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ～m(_ _)m～)

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

一応別の方法として，
[方法1]
右上がりの斜めの線に沿って同色のタイルが並び，
その枚数は，一番左の白が14枚であるところからはじまって，
14,13,13,12,12,11,11,10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1
です．3つ目ごとに青となるので，
青の枚数は，13+11+10+8+7+5+4+2+1=61(枚)と求められます

[方法2]
14行目までの総数は，14^2=196(枚).
1,4,7,10,…行目は白だけが1枚多く，
2,5,8,11,…行目は3色とも同数，
3,6,9,12,…行目は青だけが1枚少ないから，
14行目まででは，赤を基準に，白は+5枚，青は-4枚．
求める枚数は，(196-5+4)/3-4=61(枚).