2016年05月17日の記事一覧 - 詳細表示

11000：やどかりさん1000問達成おめでとうございます☆☆☆

問題11000 (やどかりさんのブログの記念すべき1000問目の問題です♪)

http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36827904.html より Orz～

　z₁＝9i，z_n+1＝26＋81/z_n (n＝1，2，3，……) で与えられる数列｛z_n｝があります。

　この数列の２つの項 z_m，z_n について、|z_m－z_n|² の最大値は？

解答

やどかりさんのブログからの問題がここの１１０００問の中の内、１０００問あるわけで…

気が遠くなりそうな前人未到の快挙ですね♪

やどかりさんお疲れ様でした。and...たくさんの創作問題を提供して頂きありがとうございました。

暫時、温泉にでも浸かって休息されて下さいね ^^☆

そして、また貴殿の脳髄から迸(ほとばし)る素敵な問題に触れさせて頂きとうございます～m(_ _)m～♪

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36850047.html より Orz～

　複素数 z について、その共役複素数を z' で表すことにします。

　a_n＝|z_n－13|² とおけば、a₁＝|9i－13|²＝250 で、

　a_n＝|z_n－13|²＝|z_n|²－13z_n－13z_n'＋169 だから、13z_n＋13z_n'＝|z_n|²＋169－a_n 、

　a_n+1＝|z_n+1－13|²＝|13＋81/z_n|²＝169＋13･81/z_n＋13･81/z_n'＋81²/|z_n|²

　＝169＋81(13/z_n＋13/z_n'＋81/|z_n|²)＝169＋81(13z_n'＋13z_n＋81)/|z_n|²

　＝169＋81(|z_n|²＋169－a_n＋81)/|z_n|²＝250＋81(250－a_n)/|z_n|²

　ここで、a₁＝250 だから、すべての自然数ｎについて、a_n＝250 になり、

　|z_n－13|＝5√10 だから、複素平面上で z_n は中心が 13 で半径が 5√10 の円周上にあることになります。

　z₂＝26＋81/z₁＝26＋81/(9i)＝26－9i 、(z₁＋z₂)/2＝13 だから、

　z₁，z₂ はこの円の直径の両端になり、このときに |z_m－z_n|² は最大です。

　最大値は、|z₁－z₂|²＝(2･5√10)²＝1000 です。

*わたしのまったく出鱈目ないい加減なもの…^^;;…Orz…

図を描いてみると…
z(n)*(z(n+1)-26)=81 なので…
z(2)=z(4), z(3)=z(5),...となることがわかり…
z(2)=z(3)と共役になるので…
z(2)=-9i+26
|z(2)-z(3)|^2=|18i|^2=18^2

もう一つの距離は...
|z(1)-z(奇数)|^2=|26|^2
だから…けっきょく...
Max|z(n)-z(m)|^2=|z(1)-z(偶数)|^2
=|(z(1)-z(2)|^2
=18^2+26^2
=1000

・友人からのもの…

問題は複素平面上の距離であり、|z1-z2|のときが最大であることを示す。
zと1/zはfig1のような位置関係となり、z=a+bi とすると
aは単調増加で28.81……..に収束。（z=26+81/z を解くとz=13+-√10=28.81..）
bは+-を繰り返しながら、+26があるから√(a^2+b^2)は1より大きく
単調に減少して0に収束し、zはfig2の赤線のように動く。
|z1-z2|^2=26^2+18^2=1000
z3以降で、aは29以下で、bは|b|<1 (z3のb=0.963..)だから
k=3,4,……..に対して｜ｚ１－ｚｋ｜＜２９＾２+1^2<1000 だから
|z1-z2|^2=1000が最大

*わたしにゃいずれもよくわからず…^^;...