2016年06月01日の記事一覧 - 詳細表示

朝晩やけにすでに秋めいてるのは…なして ^^;…?

問題11094(友人問)

旧ソ連(現ロシア)のバスチケットには6桁の数字（0から始まるものもある）が印刷されていましたが、この先頭の3桁の数字の和が末尾の3桁の数字の和に等しいとき、幸運の数であるという。すべての幸運の数の和は13の倍数であることを証明せよ。

*ピンク色部分勝手に改変～Orz～v

解答

・わたしの…

先頭の3桁=a={x1,x2,…,xm}, 末尾の3桁={x1,x2,…,xm}

それらの合計=(x1+x2+…+xm)^2*100100

100100=7*11*13*2^2*5^2

so…13の倍数ね ^^

↑

かなりいい加減でしたわ ^^; Orz…

↓

・たけちゃんさんからのスマートな解法 Orz～

「先頭の3桁と末尾の3桁の数の和を指定したとき，」(ここがやや説明不足か)
先頭3桁のとり得る数の集合と末尾3桁のとり得る数の集合は一致します．
その集合を{x[1],x[2],…,x[m]}とすると，
そのような幸運の数は
x[1]*1000+x[1],x[1]*1000+x[2],x[1]*1000+x[3],…,x[1]*1000+x[m],
x[2]*1000+x[1],x[2]*1000+x[2],…
となって，その和は
(x[1]+x[2]+…+x[m])*m*(1000+1) (ここが細かい誤り)
となり，1001の倍数です．1001=7*11*13より，これは13の倍数とわかります．
先頭/末尾の3桁の数の和をいくらにしたときもこれが成り立つので，
あらゆる幸運の数の和も13の倍数となります．

(例)先頭/末尾の数の和が1で一致するとき，幸運の数は
001001,001010,001100,
010001,010010,010100,
100001,100010,100100
であり，その和は111*3*1001=333333です．

別解も考えられます．

ある数nが幸運の数であるとき，その先頭/末尾の数の和がAとして，
999999-nは，先頭3桁の数の和，末尾3桁の数の和がともに27-Aとなるから，
999999-nも幸運の数．
よって，幸運の数は，足して999999となる2数の組
({000000,999999}とか{135423,864576}とか，多数ありますが)
からなるので，その和は999999の倍数である．
999999=13*76923
より，和は13の倍数．

*別解が鮮やかでわかりやすいですね☆

お気に入り～♪

・やどかりさんのもの Orz～

1001の倍数以外は
1000a＋b と 1000b＋a をペアにすれば、 1001の倍数であることば明らか。

*わたしも…こんな風に言いたかったなぁ... ^^;v☆