アットランダム≒ブリコラージュ

11162：嗅覚…2個の直角三角形の重なり...

問題11162・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

２つの直角三角形を図のように重ねました。

角イの大きさが角アの大きさの４倍のとき、角アの大きさは何度ですか？

（２０１６年　豊島岡女子学園中学）

解答

・わたしの…

90-(45-x)+60+4x=180

5x=30+45=75

x=15°

^^

11161：1〜10億までの数をその各桁の数字の和を一桁になるまで計算…1と2はどちらが多い？...

問題11161(友人問)

1から1000000000（十億）までの自然数が並んでいる。

それぞれの数を、その各桁の数字の和で置き換える。

その結果、10以上の数があったら、再び、その各桁の数字の和で

それらを置き換える。10以上の数がある限り、同様な操作を

繰り返す。すべての数が1桁の数になったとき、その中に

1と2とどちらが多く現れるか。

解答

・わたしの…

ようは、9で割った余り(余り0を9と考える)がその数字の変換数になるから...

1〜999999999まで…

1〜9までの個数は同じ…

so…

最後の1000000000が1になるので…

1の個数の方が多い ^^

11160：y=x+1を満たすピタゴラス数...

問題11160・・・水野先生のサイト「水の流れ」http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html ;

より Orz〜

(三重大学の問題)

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

面白いですねぇ♪

わたしにゃ背景がわからないままですけど…^^;

11159：化学反応...

問題11159・・・☆オリジナルの高校数学の問題を掲載していきます☆ http://mm2445.blog.fc2.com/blog-entry-246.html より 引用 Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

11158：数列の和に一番近い整数...

問題11158・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36919234.html#36919234 より Orz〜

(♪☆第２ステージの扉が開かれました☆♪)

数列 3√15，3√1155，3√111555，3√11115555，3√1111155555，…… の第ｎ項は、

　√の中に 1がｎ個，5がｎ個並んでいます。

この数列の初項から第1000項までの和に一番近い整数は何桁？　また、この整数の数字全部の和は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36935812.html より Orz〜

　この数列の第ｎ項を a_n とすれば、

　a_n＝3√｛(10²ⁿ−1)/9＋4･(10ⁿ−1)/9｝ ＝√(10²ⁿ＋4･10ⁿ−5) 、

　b_n＝√(10²ⁿ＋4･10ⁿ＋4) とすれば、b_n＝10ⁿ＋2 、10ⁿ＜a_n＜b_n となって、

　b_n−a_n＝9/(b_n＋a_n)＜9/(2･10ⁿ) 、

　数列｛9/(2･10ⁿ)｝の 初項から第ｎ項までの和は

　(9/20)(1−1/10ⁿ)/(1−1/10)＝1/2−1/(2･10ⁿ)＜1/2 ですので、

　｛ a_n ｝の初項から第ｎ項までの和に一番近い整数は、｛ b_n ｝の初項から第ｎ項までの和になります。

　b₁＝12，b₂＝102，b₃＝1002，b₄＝10002，b₅＝100002，b₆＝1000002，…… だから、

　111111…1111110 を 1が 1000個並んだ数のあとに 0が１個つく数として、

　第1000項までの和は 111111…1111110＋2･1000＝111111…1113110 、

　1001桁の数で、数字の和は 1002 です。

*変形が匠の業ぁ〜^^；☆

わたしのアバウトなもの…^^;

難しくて上手く言えてないですが…^^;;
たとえば...
√(9*11*(105))
=√((100-1)(100+5))
=√((102-3)(102+3))
=√((102^2)(1-3^2/102^2))
これは…102に一番近い
nが大きくなるほど10^n+2 に近づく…
so…
12+102+1002+…+100・・・002
の和は1001桁
それらの和=1*1000+2=1002