アットランダム≒ブリコラージュ

11188：計算…^^

問題11188・・・☆オリジナルの高校数学の問題を掲載していきます☆ http://mm2445.blog.fc2.com/blog-entry-249.html より 引用 Orz〜

解答

たまにはね ^^

ライブ問にてまたいずれ ^^

11187：蚊取り線香じゃないけど…^^

問題11187・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36938834.html#36938834 より Orz〜

　直径が 3，6，9，12，……，3n の同心円と２本の半径を描いて、青と黄色を交互に塗ります。

　( 図は n＝7 で 中央の青の扇形の中心角が 90ﾟ の場合です。)

　青の部分の面積が 11360π であるとき、自然数 n＝？ また、中央の青の扇形の中心角は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36956449.html より Orz〜

　a＞b として、

　半径が a で中心角がθの扇形から 半径が b で中心角がθの扇形を除いた部分の面積は、

　a²θ/2−b²θ/2＝(a＋b)(a−b)θ/2＝(aθ＋bθ)(a−b)/2 なので、

　弧の部分の長さの和×幅÷2 として、台形のように面積が求められます。

　一番外の青の部分の円弧の長さが 円周の k倍 とすれば 0＜k＜1 で、

　青の部分全部のの円弧の長さの和は、3π＋6π＋9π＋……＋3(n−1)π＋k･3nπ で、

　隣り合う同心円の幅は 3/2 だから、面積は、

　｛3π＋6π＋9π＋……＋3(n−1)π＋k･3nπ｝(3/2)/2

　 ＝3π(3/4)｛1＋2＋3＋……＋(n−1)＋kn｝＝(9π/4)｛(n−1)n/2＋kn｝

　 ＝(9π/4)(n/2)(n−1＋2k)＝9n(n−1＋2k)π/8 です。

　よって、9n(n−1＋2k)π/8＝11360π 、n(n−1＋2k)＝90880/9＝10097＋7/9 です。

　ここで、 0＜k＜1 だから、(n−1)n＜n(n−1＋2k)＜n(n＋1) になり、

　99･100＝9900，100･101＝10100 だから、n＝100 です。

　よって、100(99＋2k)＝90880/9 、99＋2k＝4544/45 、2k＝89/45 、k＝89/90＝356/360 、

　nが偶数だから、中央の黄色の扇形の中心角が 356ﾟ で、青の扇形の中心角は 4ﾟ です。


[参考]

　上の[解答]のように、青色の面積は (9π/4)｛(n−1)n/2＋kn｝ で、

　これは (最小の円の面積)･(三角数を除く正の数) の積になっています。

　従って、面積を (最小の円の面積)･(三角数) 以外の数値にすれば答は一意に定まります。

　( (最小の円の面積)･(三角数) になるのは 中心角が 0ﾟ，360ﾟ の場合です )

　その様子を たけちゃんさんが「十進BASIC」でプログラムしてくれました。

　以下にプログラムを記しますので、実行してみて下さい。

LET N_circle=10
LET N_divide=100000
SET WINDOW -N_circle-1,N_circle+1,-N_circle-1,N_circle+1
SET AREA COLOR 6
FOR n=1 TO N_circle
DRAW circle WITH SCALE(n)
flood n-.5,0
FOR t=0 TO N_divide
LET th=t/N_divide*2*PI
FOR i=1 TO n
SET LINE COLOR 2+4*MOD(n+i,2)
PLOT LINES: (i-1)*COS(th),(i-1)*SIN(th);i*COS(th),i*SIN(th)
NEXT i 
NEXT T
NEXT N
END

*上の式でいいことわからず…^^;

地道に…and…PCの力で…Orz

(3+6+9+…+3*k+3*(k+1))/4=3*(k+1)*(k+2)/8
(3+6+9+…+3*k)/4=3*k*(k+1)/8
or
(3+6+9+…+3*3*(k+2))/4=3*(k+2)*(k+3)/8

3^2*(k+1)*(1/m)*(k+2+(m-1)*k)/8
9(k+1)(mk+2)=8*11360*m・・・k=-101, m=90

3^2*(k+2)(1/m)(k+1+(m-1)(k+3))/8
9(k+2)(mk+3m-2)=8*11360*m・・・k=98, m=90

so…n=98+2=100, 扇形の中心角=360°/90=4°

*プログラムの実行の仕方もわからず…^^;;…?

・やどかりさんからのコメント頂戴〜m(_ _)m〜v

青の部分の台形の上底と下底の全部の和は
一番外以外の円周全部と一番外の青の部分の和になります。
プログラムについては、まず十進BASICをダウンロードし、
立ち上げるとプログラム入力画面が出てきますので、
コピペして実行してください。

*さっそくRUN ^^

やっと止まった ^^;…

砂時計の石庭バージョン、はたまた…ストーンサークルみたいだわ ^^☆

♪〜グラッチェ〜♪

11186：79の倍数...

問題11186・・・☆オリジナルの高校数学の問題を掲載していきます☆ http://mm2445.blog.fc2.com/blog-entry-248.html#comment2874 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

10^78≡1

10^3=1000=52

52^2=27^2=18

18^2=8

10^78=8^13

8^13-1は79の倍数

可能性があるのは…

-1+8=7

ね ^^

じっさいに…

1000000000001000000000007/79

=1265822784811392405

ビンゴ♪

11185：円周上の12点の1個だけ(-)で残りが(+)...連続6個の符合を反転...

問題11185(友人問)

正十二角形A1A2….A12　の頂点A1に-、残りの頂点に+が書かれている。

ここで、連続する6個の頂点の符号を反転させることができる。

この操作を何度、どのように繰り返しても、A2だけが-で、残りが+になるようにすることは不可能であることを証明せよ。

解答

・わたしの…

A1(-)を先頭の反時計回りの6個を反転すると…

A12〜A8までが(-)

A12〜A7までを反転すると、A1がA7に移動…

A7〜A2までを反転すると、

A6〜A2までが(-)

A6〜A1まで反転すると、A7がA1に移動…

つまり…A1はA1に戻るという循環にて、A2に辿り着けませんね…

A1(-)を先頭に時計回りなら…

A1がA7に移動…

A7はやはりA1に移動できるしかないことがわかるので、A2にゃ辿り着けません...

A1A2を含む6個を反転すると…

A1(+), A2(-) その両横4個は(-)…

12-2=10個

4+(2)=6

4+2+(4)=10

4+2+4+(2)=12

最初のA1A2が再び含まれざるを得ない...ので...元の木阿弥…

so…(-)1個だけの状態は変えられない…

で言えてるんだろうか知らん…?

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1回の操作で，必ずA1,A7の一方だけ，A3,A9の一方だけが反転し，
この4点中の-の個数は奇数個であり続けますね． 

・鍵コメH様からのもの Orz〜

A1とA7に注目すると、一回の操作でどちらか片方だけが必ず反転します
今回の場合、A1を奇数回、A7を偶数回反転させているので
全体で奇数回の操作を行ったことになります･･･(あ)

A3とA9にも同じ関係が成り立ちますが
A3は偶数回、A9も偶数回反転させているので
全体で偶数回の操作が行われたはずです･･･(い)

よって(あ)と(い)は互いに矛盾しているので、このような操作がありえないことが示せます.

*情けないことに…よくわかってましぇん…^^;…

・鍵コメT様からのもの Orz〜

別解を提示します．

はじめの段階で，A1とA12の間に符号の変わり目があります．
この変わり目は，A1〜A6またはA7〜A12の反転によってのみ消えますが，
そのとき，A6とA7の間の符号の変わり目が発生してしまいます．

つまり，A1とA12の符号を一致させるとき，A6とA7の符号は逆になるので，
A1とA12，A6とA7がすべて+とはできません．

*これは了解できましたわ ^^;v グラッチェ♪

・友人から届いたもの…

*こんな風において言えたからといって…言えたことになることがすぐわからず…^^;