アットランダム≒ブリコラージュ

11204：旧跡…□の対辺の中点で出来る△の重なり...

問題11204・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

勘は駄目ね…^^;

下線部を訳してくだされ... ^^

http://udzu.blog123.fc2.com/blog-entry-47.html より 引用 Orz〜

「Smoke Gets In Your Eyes 　

作詞：オットー・ハーバック

They asked me how I knew

My true love was true

I of course replied

"Something here inside

Cannot be denied" 

They said someday you'll find

All who love are blind

When your heart's on fire

You must realise

Smoke gets in your eyes

So I chaffed then and I gaily laughed

To think they would doubt my love

Yet today, my love has flown away

I am without my love

Now laughing friends deride 

Tears I cannot hide

So I smile and say

"When a lovely flame dies,

Smoke gets in your eyes."　」

11203：数列の5001項目...

問題11203・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36950872.html#36950872 より Orz〜

　1，2，5/2，3，10/3，11/3，4，17/4，9/2，19/4，5，26/5，27/5，28/5，29/5，6，…… は、

　ｎを自然数、ｋを 0≦k＜n である整数として、

　n＋k/n の形で表される数を小さい順に並べてできる数列です。

　この数列の第5001項の値は？　

　次に、この数列の初項から第Ｎ項までの和を S_N とすると、S₅₀₀₁ は自然数ではありません。

　N＞5001 として、S_N が自然数になる最小の自然数Ｎについて S_N＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36968531.html より Orz〜

　n＋k/n の形の項を第ｎ群とすれば、

　第ｎ群までの項数は 1＋2＋……＋n＝n(n＋1)/2 ですので、

　99･100/2＝4950，100･101/2＝5050 より、第5001項は第100群の第51項です。

　よって、第5001項は 100＋50/100＝100．5 です。

　第ｎ群の総和は n²＋1/n＋2/n＋……＋(n−1)/n＝n²＋(n−1)/2 になり、

　第ｎ群までの総和は n(n＋1)(2n＋1)/6＋n(n＋1)/4−n/2＝n(4n²＋9n−1)/12 ですので、

　第99群までの総和は 99(4･99²＋9･99−1)/12＝330775．5 です。

　第100群の第１項から第ｋ項までの和は

　100k＋1/100＋2/100＋3/100＋……＋(k−1)/100＝100k＋(k−1)k/200 であり、

　(k−1)k/200 の小数部分が 1/2 になるためには、

　(k−1)k が 200の倍数でない 100の倍数でなければなりません。

　51＜k＜100 でこの条件を満たすのは、k＝76 であり、

　このとき、第100群の第１項から第76項までの和は 100･76＋75･76/200＝7628．5 です。

　よって、N＝4950＋76＝5026 、S₅₀₂₆＝330775．5＋7628．5＝338404 です。

*地道に…^^;

but...放浪の旅が始まったののであります…^^;;;...

1+2+3+…+99=100*99/2=9900/2=4950
分母が100の…100,100+1/100,…,100+50/100=201/2
so...4950+51=5001番目は、201/2 (=100.5)♪
奇数番目の分数の和=2k*(2k-1)/(2*(2k-1))=k
so…
1+2+…+49
偶数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*2k)=(2k+1)/2
so…
1/2+3/2+5/2+…+49/2=(1/2)(1+2+3+…+49)
もう１個1/2があればいいので…51/2
100の51番目+49個なのでS(5050)
S(5050)
=Σ(1〜100)k^2+(3/2)Σ(1~49)k+51/2
=100*101*201/6+(3/2)*25*49+51/2
=338350+3762/2
=338350+1881
=340231

k(k+1)/200=m/2
100m=k(k+1)
75*4の倍数=75*76 で…75*76/200=57/2
so…
Σ(1〜99)k^2+(3/2)Σ(1~49)k+100*76+(1/2)Σ(1〜75)k
=99*100*199/6+(3/2)*49*25+7600+57/2
=328350+7600+1866
=337816

そもそもが…

奇数番目の分数の和=2k*(2k-1)/(2*(2k-1))=k
so…
1+2+…+50=25*51=5100/4=1275
偶数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*2k)=(2k+1)/2
so…
(1/2)*49+(1+2+3+…+49)
=49/2+25*49/2
=49/2+4900/4
=49/2+1225

1275+1225+99/2=2500+49/2 であることに気づきましたわ…^^;;
so…
99*100*199/6+2500+7600+49/2+57/2
=328350+2500+7600+53
=338503

奇数番目の分数の和=2k*(2k-1)/(2*(2k-1))=k
so…
1+2+…+49=25*49=4900/4=1225・・・でしたわ ^^;
偶数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*2k)=(2k+1)/2
so…
(1/2)*49+(1+2+3+…+49)
=49/2+25*49/2
=49/2+4900/4
=49/2+1225

1225+1225+99/2=2450+49/2 
so…
99*100*199/6+2450+7600+49/2+57/2
=328350+2450+7600+53
=338453

めげずにチェック...で…我発見せり!!?

偶数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*2k)=(2k+1)/2
so…
(1/2)(1+2+3+…+97)
=49*97/2

99*100*199/6+1225+7600+49*97/2+57/2
=328350+1225+7600+2405
=339580

微妙におかしかったか...精査した結果ですばい…
奇数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*(2k+1))=k
so…
1+2+…+49=25*49=4900/4=1225
偶数番目の分数の和=2k*(2k-1)/(2*2k)=(2k-1)/2
so…
(1+2+…+49)-(1/2)*49
=25*49-49/2

so…
99*100*199/6+1225+1225+7600-49/2+57/2　　=338404  だったということでしたぁ ^^;
=328350+2450+4
=330804

*ここでさすがに...心も折れてしまったわたし…Orz