アットランダム≒ブリコラージュ

11210：いずれの３点も同一直線上にない5点...凸四角形が存在する...

問題11210(友人問)

平面上に、どの3点も同一直線上にはないように5点を配置するとき、

それらの中のある4点を頂点とする凸四角形が存在することを示せ。

解答

デジャヴーな気が…?

・わたしの…

△ABCの外部に1点取るとそれで凸四角形が出来るので、

内部に2点を取る時を考えればいい…

その場合、AB,BC,CAのいずれかの辺と内部のどちらかで出来る△を考えると、

もう一方は、その△の外部の点となるので…最初の事態に戻る…

so…必ず、凸四角形は出来る ^^

↑

これじゃ不十分でした ^^; Orz…

場合分けすればいんだけど…

以下の鍵コメT様の解法を見たらその必要もなかとばい ^^☆

↓

・鍵コメT様のわかりやすい解法♪

三角形PQRの外部に点Sをとっても，PQRSが凸四角形を作るとは限りません．

与えられた5点の任意の2点を結ぶ線分(5C2=10(本))をすべて引き，
線分で囲まれた最も広い領域Dを考えると，

(「最も広い領域」が分かりにくかったかもしれません．

線分で囲まれた部分全体，要は凸包をDとするということです．)

*十分了解/イメージできましたばい♪

この領域は三角形，四角形，五角形のいずれか．
四角形，五角形のときは，領域Dの頂点(のうちの4つ)が条件を満たす．
三角形のとき，領域を三角形PQRとし，内部に点S,Tがあるとして，
直線STにより平面を分けると，2つの部分に分かれ，
その一方にはP,Q,Rのうちの2点がある．P,Qとして一般性を失わない．
このとき，4点P,Q,S,Tが条件を満たす．
(S,Tは三角形PQRの内部だから，∠P,∠Qは180°より小さく，
P,Qは直線STの同じ側だから，∠S,∠Tは180°より小さい．) 

・友人から届いたもの…

*なるほど…わかりやすい☆

11209：1~2001から何個か選んだ和が奇数である選び方...

問題11209・・・http://enjoymath2.blog.fc2.com/?tag=☆☆&page=4 より 引用 Orz〜

(2001年数学オリンピック予選問題　第3問)

解答

・わたしの…

これは閃いた ^^

1+2+3+…+2001=奇数

つまり…

これを、2つに分けたら、いずれかが奇数になるので…

2001C0+2001C1+2001C2+…+2001C2001=2^2001

この半分ということだから…

2^2000通りね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

これで正しいですが，実は合計が奇数であることは本質的ではなく，
n個の整数で1つでも奇数が含まれていれば，場合の数は2^(n-1)となります．

1つの奇数以外について，各数を足すか足さないかを選び，そこまでの合計の
偶奇により，最後の奇数を足すか足さないかを決めればよいですね．

*相加相乗草加煎餅!!

お気に入り♪

11208：Σ(1〜2001) k^2001≡? mod 13...

問題11208・・・http://enjoymath2.blog.fc2.com/?tag=☆☆&page=4 より 引用 Orz〜

(2001年数学オリンピック予選問題　第5問)

解答

・わたしの…

2001≡-1　mod 13

so…

1+2001

=2+2000

=3+1999

…

=1000+1002

so…

1^2001+2001^2001=1^2001+(-1)^2001

≡2^2001+2000^2001=2^2001+(-2)^2001

…

≡1000^2001+1002^2001=1000^2001+(-1000)^2001

=0

けっきょく…

残るのは…

1001^2001

1001≡0　mod 13

so…

与式≡0

^^

11207：4x4マスに1~4の数を縦横同じ数が入らないように入れる入れ方...

non-alcohl の甘酒?...ってことで飲んでみた ^^

芽茶甘〜〜〜ぃ♪

古人のスィートか知らん ^^☆

問題11207・・・http://enjoymath2.blog.fc2.com/?tag=☆☆&page=4 より 引用 Orz〜

(2001年数学オリンピック予選問題　第7問)

解答

・わたしの...

算チャレに出てきそうだけど…^^;

上手い方法わからず…^^;;

4,3,2,1

1,1,2,3

2,1,1,1

1,1,1,1

　→→→

　　　　↓

　←←←

↓

→→

みたいに考えてみた…^^;

so..

4!*3*2*2=288通り

こんなんでいいのか知らん…?

11206：2つの方程式を満たす実数...

問題11206・・・http://enjoymath2.blog.fc2.com/?tag=☆☆&page=4 より 引用 Orz〜

(2001年数学オリンピック予選問題　第8問)

解答

・わたしの…

割るしか思い付かず…^^;

(x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5)

=(x+2)(x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5)+x^3-5

so…

明らかに、x=-2 はx^3-5=0を満たさない…

また...

f(x^3=5)

=x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5

=5x^2+10x-5-5x^2-10x+5

=0

so…

x^3=5 を満たす実数なので…x=5^(1/3)

^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

これで正しいです．
なお，整式の方程式の共通解を求めることは，
最大公約数(最大公約式?)を求めるのと同じことですので，
「割る」ことは，互除法の1ステップとして，当然の方針です．

f(x)=x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5,
g(x)=x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5
として，
g(x)=(x+2)f(x)+x^3-5,
f(x)=(x^2+2x-1)(x^3-5) (余り0)
より，f(x),g(x)の最大公約数はx^3-5.
したがって，求めるものは，x^3-5=0の実数解であり，x=5^(1/3)．

*グラッチェ♪