アットランダム≒ブリコラージュ

11216：二重周期...

わたしは誰でしょう ^^…?

問題11216・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図１のように、周の長さが６０ｃｍの円ばんがあり、

中心の点Ｏに、時計回りに動く針がついています。

この針の先端の点Ｐは、円ばんの周上の点Ａから動き始めて、

３０秒で１周するように、一定の速さで周上を動き続けます。

図２のように、この円ばんを点Ａ（Ｐ）が直線と重なるように置き、

点Ｐが点Ａを出発するのと同時に、直線上を図２の右方向に、

秒速８ｃｍの速さですべらないように転がします。

そして、点Ａと点Ｐが再び同時に直線と重なったとき、円ばんを止めます。

円ばんが転がるときも、針は円ばん上を３０秒で1周する速さで動きます。

（１）点Ｐが再び直線と重なるのは、点Ａを出発してから何秒後ですか？

（２）円ばんが止まるのは、転がり始めてから何秒後ですか？

（２０１６年　渋谷教育学園幕張中学）

解答

・わたしの…

(1)

60/8=15/2秒・・・1周

15/2 : 30=1 : 4

so…4*30=120秒後

(2)

(30/8)*120=15*120/4=450秒後

^^

↑

狂ってた…^^; …Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) Aが直線上に戻るまでの時間は15/2秒ですが，
そのときPは，1/4周だけ行き過ぎています．
Pが直線上にくるまでの時間は，15/2*(4/5)=6(秒)ですね．
(2) 15/2秒ごとにAは1周，Pは5/4周します．
両方が(整数)周するのは，15/2秒の4倍で30秒ですね．

*もう嫌ぁ〜...この手は歯車が狂うと飛んでも八分歩いて３分…^^;;;...

11215：面積比…六角形...

垂涎のナスのオリーブ油炒め ^^♪

問題11215・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

図の六角形の向かい合った辺は３組とも平行で、

３組それぞれについて、

短い辺と長い辺の長さの比が１：３ となっています。

色のついた部分の面積は、六角形の面積の何倍ですか？

（灘中学　2004年）

解答

・わたしの…

11214：旧跡...正方形内の直交する2直線...

空の色はなぜ青色なんだったっけ…^^;…?

問題11214・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

図のような正方形ABCDがあります。

EFとGHが直角に交わり、AG＝AHのとき、

この正方形の面積は何ｃ㎡になりますか？

（第１回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より）

解答

・わたしの…

14+4=18

9*(12/4)=27

so…

27^2/4=(30-3)^2/4=(900-180+9)/4=729/4=182.25 cm^2

^^

↑

不注意でしたァ…^^;...Orz…

(9+4+9=22, しかも…22*(22/2)*(1/2)*2=242　としなきゃいけませんのでした…^^;;)

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

対角線ACを引くと，GHの中点Mを通る．
AM=GM=HM=6，EO=GO=4より，AM-EO=2であり，CM-FO=2となるから，
AC=AM+MC=6+16=22.
面積は，(22^2)/2=242(cm2).

*わたしの方がちょい楽かも ^^;…v

(負けず嫌い…Orz…)

11213：各辺が1より大きい凸六角形は2より長い対角線を必ず持つか?...

問題11213(友人問)

凸六角形の各辺は1より長いとする。このとき、この6角形は

長さが2より長い対角線を必ずもつか否か。

解答

・わたしの…

ようは、半径1の円のなかに、辺が1より大きい凸６角形が作れるか？

ということあるね…

4辺を１より少し大きめに円周上に取ると、端点を結ぶ辺の長さは明らかに直径より小さい…

残り1点を円の外部に取ったのでは対角線が2以上のものになるので…

円の内部に取れたとすると…

x^2+y^2-2x*y*cosθ・・・90°<θ<180°・・・-1<cosθ=α<0

>(x+y)^2

>2^2=直径^2

これは、矛盾

so...円の内部には点は取れないということ…

これは、円の外部にならざるを得ないので...その点から一番遠い円周上の点

までの距離は，円の直径2を超える ^^

いい加減過ぎますか…^^;...

↑

嘘っぱち/赤っ恥でしたわ…^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からの目の覚める存在証明☆

その点から一番遠い円周上の点は，六角形の頂点である保証はありませんね．

一辺の長さ2の正三角形を考え，
各辺の中点を，三角形の外部方向に0.0001だけずらしてできる六角形は，
どの対角線も2以下であり，辺長はすべて1より長いと思います．

*お気に入りぃ〜^^♪

も少し深く考えたら...閃けたのか知らん…^^;;…?

11212：立方体の頂点の座標...

問題11212・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36960164.html ;

より Orz〜

　空間内に３点 A(−1，1，1)，B(7，6，4)，C(8，−3，0) があります。

　立方体の８個の頂点のうち、３点が A，B，C であるとき、Aからいちばん遠い頂点の座標は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36976616.html より Orz〜

[解答1]

　まず、BC＝CA＝AB＝7√2 です。

　立方体の辺，面の対角線，立方体の対角線の長さの比は 1：√2：√3 だから、

　BC＝CA＝AB より、BC，CA，AB は面の対角線しか考えられません。

　求める点を P(x，y，z) とすれば、AP＝7√3 ，BP＝CP＝7 です。

　AP²＝(x＋1)²＋(y−1)²＋(z−1)²＝147 、x²＋y²＋z²＋2x−2y−2z＝144 ……(1)

　BP²＝(x−7)²＋(y−6)²＋(z−4)²＝49 、x²＋y²＋z²−14x−12y−8z＝−52 ……(2)

　CP²＝(x−8)²＋(y＋3)²＋z²＝49 、x²＋y²＋z²−16x＋6y＝−24 ……(3)

　(1)−(3) より 18x−8y−2z＝168 、9x−4y−z＝84 ……(4)

　(2)−(3) より 2x−18y−8z＝−28 、x−9y−4z＝−14 ……(5)

　(4)×4−(5) より 35x−7y＝350 、y＝5x−50 、

　(4)に代入して 9x−4(5x−50)−z＝84 、z＝−11x＋116 、

　これらを(3)に代入して、x²＋(5x−50)²＋(−11x＋116)²−16x＋6(5x−50)＝−24 、

　簡単にして、3x²−62x＋320＝0 、(x−10)(3x−32)＝0 、x＝10，32/3 です。

　x＝10 のとき y＝5･10−50＝0 ，z＝−11･10＋116＝6 、

　x＝32/3 のとき y＝5･32/3−50＝10/3 ，z＝−11･32/3＋116＝−4/3 だから、

　求める頂点は、(10，0，6)，(32/3，10/3，−4/3) です。


[解答2]

　原点を O とし、ベクトルは太字で表すものとします。

　まず、BC＝CA＝AB＝7√2 ですので、正四面体QABCをつくれば、Q は立方体の頂点のひとつです。

　AB＝(8，5，3)，AC＝(9，−4，−1) 、AB×AC＝7(1，5，−11) で、

　△ABCの重心は(14/3，4/3，5/3)だから、Q(14/3＋t，4/3＋5t，5/3−11t) と表せます。

　AQ²＝(17/3＋t)²＋(1/3＋5t)²＋(2/3−11t)²＝98 だから、147t²＝196/3 、t＝±2/3 です。

　ここで、求める点を P とすれば、

　PA＝PB＋PC＋PQ だから、OA−OP＝OB−OP＋OC−OP＋OQ−OP 、

　OP＝(OB＋OC＋OQ−OA)/2＝(31/3＋t/2，5/3＋5t/2，7/3−11t/2)

　t＝±2/3 だから OP＝(32/3，10/3，−4/3)，(10，0，6) です。


[解答3] たけちゃんさんのコメントより

　AB＝BC＝CA＝7√2 であるから，AB，BC，CAは立方体の面の対角線であり，立方体の一辺は 7．

　以下，A，B，Cのすべてに隣接する頂点をP，求める頂点をQとし，

　Oを始点とするA，B，C，P，Qの位置ベクトルをa，b，c，p，qと表す．

　(a−p)×(b−p)＝±7(c−p)，(b−p)×(c−p)＝±7(a−p)，(c−p)×(a−p)＝±7(b−p)　(複号同順)

　であるから，辺々加えて，

　a×b＋b×c＋c×a−(a×p＋p×b＋b×p＋p×c＋c×p＋p×a)＋3p×p＝±7(a＋b＋c−3p)．

　外積の性質から，a×b＋b×c＋c×a＝±7(a＋b＋c−3