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14枚のコインが裁判官に提出された。鑑定人は、そのうち1番から
7番のコインが偽物で、8番から14番までのコインが本物であることを
知っている。裁判官は、本物のコインはすべて同じ重さ、偽物のコインも
すべて同じ重さで、偽物は本物より軽いということだけを知っている。
鑑定人は重さを量らなくても外見だけで見分けられる。鑑定人は、
1番から7番までのコインが偽物であることを裁判官に証明したい。
3回だけ量りを使って、それを証明するにはどうしたらよいか。
解答
・鍵コメT様のもの Orz〜
本物をABCDEFG，偽物をabcdefgとします．
まず，A>aを示すことで，「Aが本物，aが偽物」と証明できます． 次に，aBC>Abcを示すことで，「BCが本物，bcが偽物」と証明できます． 最後に，abcDEFG>ABCdefgを示すのがよいでしょう． 「DEFGが本物，defgが偽物」と証明できます． abcdefgが偽物であることさえ証明できればよいのなら， 3回目はabcA>defgを示すことによっても目的は達せられます． *たしかに!! 上手い方法がありますのねぇ♪
・鍵コメH様からのコメ Orz〜
上皿量りを使うのか上皿天秤を使うのかで問題が違ってきますね.
また、8〜14が本物かどうかを示す必要があるかないかで難易度も変わってきます. いずれの場合でも3回の操作で可能です. *上皿量りの場合を考えてみました ^^
鍵コメT様の記号を使わせて頂き…
ABCDEFG を測る…=M g
abcdefg を測る…=m g
Aa を測る…=(M+m)/7 g
を示せばいいはずね ^^
↑
ことは単純ではなかった…^^; …Orz…
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
天秤と即断してしまいましたが，軽率でした．
上皿量りの場合， 例えば，7つを測って721，残り7つを測って700， はじめの7つ中の1つと後の7つ中の1つを測って203だとして， 103*7,100*7,103+100 であったのか 112*4+91*3,112*3+91*4,112+91 や 105*5+98*2,105*2+98*5,105+98 などであったのかは判断できません． BCDEFGについては本物であることを示さなくてもよいなら， Aを測り，aを測り，bcdefgを測るのがわかりやすいと思います． 本物であることも示す必要があるなら， Aabc,defg,ABCDEFGを測れば目的は達せられます． Aabc,defgの重さが12x,12yとして，x>yであることから，裁判官から見て，
(本物の重さ)-(偽物の重さ)は， [i]本物の個数差が1の場合，12x-12y, [ii]本物の個数差が2の場合，,6x-6x, [iii]本物の個数差が3の場合，4x-4y, [iv]本物の個数差が4の場合，3x-3y であり，本物4個の重さは， [i]12x,12x+(12x-12y),12x+2(12x-12y),12x+3(12x-12y), [ii]12x,12x+(6x-6y),12x+2(6x-6y) [iii]12x,12x+(4x-4y) [iv]12x のいずれかとわかります． 可能な最も重い場合は12x+3(12x-12y)ですが， ABCDEFGが実際にその7/4倍であることから， 「ABCDEFGはすべて本物，Aabcのうちに本物は1個，defgのうちには本物なし」 と判断でき，証明できたことになります． *わたしには無理難題だわ ^^;v
・友人から届いたもの…
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コメント（3）
