アットランダム≒ブリコラージュ

11271：k個の連続する整数を積が等しい２個のグループに分けられるか？

こんなところに行きたいと思ってたはずなのに…

いまは…

ただ囲碁が打ちたい ^^;v

問題11271(アナロジー問)

k個の連続する整数をどのように2グループに分けてもそれぞれの積が等しくなることはないことを証明せよ。

解答

またいずれ ^^

11270：連続する6個の整数を2グループにどう分けても積は一致しない...

🍂と影が…1:1対応してるのよぉ〜 ^^v

問題11270(友人問)

nを任意の正整数とする。6個の連続する整数

n+1、n+2、……….、n+6

を2つのグループA、Bにどのように分けようとも、

Aに属する数すべての積とBに属する数すべての積が

一致するようには出来ないことを証明せよ。

解答

・わたしの…

これは簡単ね ^^

連続する6個の数には…

mod 7で、

0,1,2,3,4,5,6

0が入ると無理…

so…

残り6個には5が1個なので…

余りの積が等しくなることはあり得ない ^^

↑

間違ってました...必ずしも言えるとは限らないのでした ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

ここでの「5が1個」の5とは，7で割って5余る数(12とか)のことであり，
「5が1個」は，積が等しい2グループに分けられない理由にはなりませんね．

7の倍数が含まれるなら1つだけで，そのときは条件を満たさない．
7の倍数が含まれないなら，nは7の倍数．
ここで，1*2*3*4*5*6≡-1 (mod 7)であり，←計算してもいいけど...ウィルソンの定理ね☆
1^2≡6^2≡1,2^2≡5^2≡4,3^2≡4^2≡2,0^2≡0のどれとも異なるので，
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)は平方数とはならないから，
積が等しい2グループには分けられない．

*まだわかってないけど...ウィルソンの定理そのもので言えないのか知らん？

・鍵コメT様からの別解ぃ〜Orz〜☆

もう少し一般化の参考になりそうな別解を提示しておきます．

連続6整数には，2の倍数は3個，3の倍数は2個含まれ，それらには重複が1個．
よって，2でも3でも割り切れないものが2つ含まれる．a,bとする．
a,bはともに奇数だから，連続する2つの5の倍数とはなり得ず，
a,bの少なくとも一方は5の倍数でない．
つまり，6数(題意より2以上)のうちには
2,3,5で割り切れないもの，つまり7以上の素因数pをもつものがある．
素因数pをもつ数は1つしか含まれないから，2グループの積は等しくならない．

*なるほど巧い♪

11269：旧跡…正方形と内・外接円...

こんな紋様に日焼けしてみたい ^^;…v

問題11269・・・http://chosen-sansu.tokeruka.net/?p=6499 より 引用 Orz〜

図は正方形と円を組み合わせたもので、正方形の１辺の長さは ３０ｃｍ、いちばん小さい２つの円は同じ大きさです。色をつけた部分の面積は、いちばん大きい円の面積の ７/１８倍です。このとき、次の問に答えなさい。

（１）色をつけた部分の面積を求めなさい。

（２）いちばん小さい円の半径は何ｃｍですか。

（雙葉中学　2013年）

解答

・わたしの…

正方形の内接円は…(30/2)^2=30^2/4

外接円は…30^2=(2r)*r…r^2=30^2/2

so…

大きい円*(1/2)=小さい円

(1)

30^2/2*π＊(7/18)

=700π/4

=175*π cm^2

(2)

一番小さい円の半径:r

2*r^2*π+175*π=30^2/4*π=225*π

so…r^2=50/2=25

so…r=5 cm

^^

11268：商の種類…100を1〜99で割る...

如何に効率よく🍂が並んでソーラーエネルギーを受けているかが窺い知れる木陰でっしょ ^^

雨宿りにもいいってことあるね ^^;v

問題11268・・・http://chosen-sansu.tokeruka.net/?p=6560 より 引用 Orz〜

１００ を １ 以上 ９９ 以下の ９９種類の整数で割ったとき、

商は全部で何通りできますか。

ただし、商は整数のものだけを考えるものとします。

（横浜共立学園中学　2013年）

解答

・わたしの…

100/1=100

100/2=50

100/3=33

100/4=25

100/5=20

100/6=16

100/7=14

100/8=12

100/9=11

100/10=10

ということは…

10以上50以下で割っても…9〜1までにしかならないということ…

so…

2*10-1=19種類ね ^^

11267：整形数多項式...素数でないものが必ず現れる...

こないだは...ピー缶だったけど...空気はまだ重かったけど…^^

問題11267・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

これは当たり前田のクラッカ〜じゃん ^^

f(x)=a_1*x^n+a_2*x^(n-1)+…+a_(n-1)*x+a_n

整形数多項式なので…

f(a_n) は明らかに、a_n の倍数なので素数ではない…

少なくとも、a_nの倍数の個数(無限個)の合成数が現れますね ^^

↑

ことはそう単純ではなかったのでしたぁ…^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

a_nが1のときは，これでは言えていませんね．

f(1)が素数だとして，f(1)=pとおく．
f(1+p),f(1+2p),…はすべてpの倍数だから，素数とすればpしかない．
ところが，f(x)の次数をnとすると，f(x)=pなる方程式は，
異なる解を高々n個しか持たず，
f(1),f(1+p),f(1+2p),…,f(1+np)のうちにpでないpの倍数があり，
それは素数ではない．

なお，f(N)が素数でないとして，
f(x+N)=g(x)とおけば，同様の議論で，g(1),g(2),…のうちにも
素数でないものがあることになり，以下同様なので，
f(1),f(2),…には素数でないものが無数にあることも言えます．

*肝腎のところこその証明が数学的発想で攻め落とさなきゃいけない部分でしたのねぇ…^^;☆