アットランダム≒ブリコラージュ

11274：16桁の数…1個以上の連続する数の積は必ず平方数...

こんな夏の姿が好き ^^b

問題11274・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

0,1,4.9以外の7個の数字2,3,5,6,7,8が…

たとえば、

1,2の

2個の数字では…

121の次はどれもこれない…ので、3個まで…

1,2,3の3個の数字では…

1213121の次はどれもこれないので…7個まで…

1,2,3,4,の4個の数字では…

121312141213121の次にはどれもこれないので…15個まで…

2,3,5,7,6,8

2325232723252 のどこにも6,8は入れられない…ので15個まで…

2の代わりに8を使っても…同じこと…(2以外の代わりに使うと…3,5,7のところには使えないので15個までならず…)

2 or 3 の代わりに6を使っても同じこと…(2,3以外の代わりに使うと…5,7のところは使えないので15個までならず…)

自分ながらなんやいい加減すぎるわ…^^;…

・鍵コメT様からのなるほどな解法 Orz☆

いずれかの桁に0があれば，その桁が平方数．以下，0はない場合を考える．
先頭からn桁目までの積を平方数で割れるだけ割った商として可能な数は，
(2^a)*(3^b)*(5^c)*(7^d) (a,b,c,dはそれぞれ0または1)の16種類．
よって，n=1,2,…,16に対するこのような数は，
[1] (2^0)*(3^0)*(5^0)*(7^0)=1を含むか
[2] 互いに等しい2数を含む．

[1]のときは，商が1となるところまでの積が平方数．
[2]のときは，k桁目までとm桁目までが同じ商(k<m)として，
k+1桁目からm桁目までの積が平方数．

*なしてこういう発想がすぐ出来るのかが驚きモモの木さすがの木♪

11273：ジグザグ内の正方形の個数...

問題11273・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37000852.html#37000852 より Orz〜

　図は正方形を階段状に８段並べたもので、大小合わせて正方形の総数は 70個です。

　同じように、正方形を階段状に 48段並べると、正方形の総数は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37016603.html より Orz〜

[解答1]

　最小の正方形の１辺を 1 とします。

　１辺が 1 の正方形は 1＋2＋3＋……＋48＝48･49/2＝1176 個、

　１辺が 2 の正方形は 1＋2＋3＋……＋46＝46･47/2＝1081 個、

　１辺が 3 の正方形は 1＋2＋3＋……＋44＝44･45/2＝990 個、

　　………………

　１辺が k の正方形は 1＋2＋3＋……＋(50−2k)＝(50−2k)(51−2k)/2＝2k²−101k＋1275 個、

　　………………

　１辺が 24 の正方形は 1＋2＝3 個なので、

　k＝1，2，3，……，24 として 2k²−101k＋1275 を加えると、

　2･24･25･49/6−101･24･25/2＋1275･24＝9800−30300＋30600＝10100 個です。


[解答2]

　上左図のように、各マスを右上隅とする正方形の個数を書き込めば、

　左から１列目と下から１段目は１であり、

　１と書かれたマス以外で 左から２列目と下から２段目は２であり、

　一般に k−1 以下の数を書かれたマス以外で 左からｋ列目と下からｋ段目はｋです。

　よって、ｎ段の場合、

　1 が 2n−1 個 ，2 が 2n−5 個 ，……，k が 2n＋3−4k 個 ，…… となり、

　k(2n＋3−4k) を k＝1，2，……，[(2n＋3)/4] として加えることになります。

　[(2n＋3)/4]＝N とすれば、

　(2n＋3)N(N＋1)/2−4N(N＋1)(2N＋1)/6＝N(N＋1)(6n−8N＋5)/6 です。　

　また、(2n＋3)/4 の小数部分は 1/4 または 3/4 なので、

　N＝[(2n＋3)/4]＝[(2n＋3)/4−1/4]＝[(n＋1)/2] になります。

　結局、N(N＋1)(6n−8N＋5)/6 個、ただし N＝[(n＋1)/2] です。

　n＝8 のときは N＝[(8＋1)/2]＝4 、4･5･(6･8−8･4＋5)/6＝70 個になり、

　本問では n＝48 なので、N＝[(48＋1)/2]＝24 、24･25･(6･48−8･24＋5)/6＝10100 個です。

　なお、上右図は 各マスを左下隅とする正方形の個数を書き込んたもので、

　それぞれに書かれる数の個数は 上左図と同じです。


[解答3]

　下左図のように、ｎ段の場合、1 から n＋3 の番号をつけた点のうちの

　４個の点の番号を小さい方から順に a，b，c，d とします。

　点a，点bから縦線を，点c，点dから横線を描いて正方形ができるのは b−a＝d−c のときで、

　番号のうち、a，b，d を選ぶと、c＝d−b＋a として c は決まります。

　b＞c の場合は b＜c の場合と同数、

　b＝c の場合は a，d が奇数どうしか偶数どうしで b＝(a＋d)/2 であり、

　 ｎが偶数のとき e＝1，ｎが奇数のとき e＝0 すれば

　 1 から n＋3 に 偶数が (n＋3−e)/2 個，奇数が (n＋3＋e)/2 個あるので、

　 _n+3Ｃ₂−(n＋3−e)(n＋3＋e)/4 通り、

　a，b，d を選び、b＜c となる場合の数は、

　 ｛ _n+3Ｃ₃−_n+3Ｃ₂＋(n＋3−e)(n＋3＋e)/4｝/2

　 ＝｛(n＋3)(n＋2)(n＋1)/6−(n＋3)(n＋2)/2＋(n＋3−e)(n＋3＋e)/4｝/2

　 ＝｛2(n＋3)(n＋2)(n＋1)−6(n＋3)(n＋2)＋3(n＋3−e)(n＋3＋e)｝/24

　 ＝｛(n＋1)(n＋3)(2n＋1)−3e²｝/24＝[(n＋1)(n＋3)(2n＋1)/24] 通りですので、

　正方形の総数も [(n＋1)(n＋3)(2n＋1)/24] 個です。

　n＝8 のときは [9･11･17/24]＝70 個になり、

　本問では n＝48 なので、[49･51･97/24]＝10100 個です。


[解答4]

　下右図のように、ｎ段の場合、各列の一番上の正方形に 1 から n の番号をつけ、

　その中から重複を許して４個を選び、番号を小さい方から順に a，b，c，d とします。

　ａ列からｂ列とｃ行からｄ行を塗るとその重なりが正方形になるのは b−a＝d−c のときで、

　番号のうち、a，b，d を選ぶと、c＝d−b＋a として c は決まります。

　b＞c の場合は b＜c の場合と同数、

　b＝c の場合は a，d が奇数どうしか偶数どうしで b＝(a＋d)/2 であり、

　 ｎが偶数のとき e＝0，ｎが奇数のとき e＝1 すれば

　 1 から n に 偶数が (n−e)/2 個，奇数が (n＋e)/2 個あるので、

　 _nＨ₂−(n−e)(n＋e)/4 通り、

　a，b，d を選び、b≦c となる場合の数は、

　 ｛ _nＨ₃＋_nＨ₂−(n−e)(n＋e)/4｝/2

　 ＝｛n(n＋1)(n＋2)/6＋n(n＋1)/2−(n−e)(n＋e)/4｝/2

　 ＝｛2n(n＋1)(n＋2)＋6n(n＋1)−3(n−e)(n＋e)｝/24

　 ＝｛n(n＋2)(2n＋5)＋3e²｝/24＝[n(n＋2)(2n＋5)/24＋1/8] 通りですので、

　正方形の総数も [n(n＋2)(2n＋5)/24＋1/8] 個です。

　n＝8 のときは [8･10･21/24＋1/8]＝70 個になり、

　本問では n＝48 なので、[48･50･101/24＋1/8]＝10100 個です。

*面白そうな解法だなぁ☆

熟読玩味ぃ〜♪

わたしゃ...合体させて半分にすりゃいいというアプローチで攻めましたが…

結構ややこしかったなぁ...よく間違わずに数えられたもんだわ…^^;v

同じフォルムを２個くっつけて…たとえば…8x9の長方形内の正方形を数えて…

対角ジグザグを含む正方形を数えるという感じで...求めたものを式にしてみたらでけた…?... ^^;v

11272：平方数…与式の中の2^(2n)の最大のnは？...

スタバのははずれないけど…^^…ま、好みの問題は別あるね Orz...

問題11272・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(2^150+2^17)^2 ・・・2*2^167=2^168...n=84

(2^n+2^17)^2・・・2*2^(n+17)=2^(n+18)...n+18=300...n=282

so…

Max(n)=282

ね ^^