アットランダム≒ブリコラージュ

11308：平方数の和...

問題11308・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37018822.html#37018822 より Orz〜

　整数 a，b に対して、a 以上 b 以下の全ての整数の平方の和を S(a，b) とします。

　例えば、S(76，97)＝97･98･195/6−75･76･151/6＝308945−143450＝165495 です。

　S(a，b)≦10000 かつ S(a，b)≡32 (mod 35) を満たす S(a，b) の値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37035346.html より Orz〜

　S(a，b)≡32 (mod 35) より、S(a，b)≡2 (mod 5) ，S(a，b)≡4 (mod 7) です。

　0²≡0，1²≡1，2²≡4，3²≡4，4²≡1 (mod 5) より、a≡4，b≡1 (mod 5) です。

　0²≡0，1²≡1，2²≡4，3²≡2，4²≡2，5²≡4，6²≡1 (mod 7) より、

　a≡b≡2 (mod 7) または a≡3，b≡4 (mod 7) または a≡b≡5 (mod 7) です。

　このうち、a≡b≡5 (mod 7) の場合は −b≡−a≡2 (mod 7) であり、

　S(−b，−a)＝S(a，b) なので、省いても S(a，b) の値はすべて現れます。

　よって、a≡9，b≡16 (mod 35) または a≡24，b≡11 (mod 35) になります。

　a≡9，b≡16 (mod 35) の場合、

　まず、８個の平方数の和となるのは、

　S(−61，−54)＝54²･8＞10000 ，

　S(−26，−19)＝26･27･53/6−18･19･37/6＝6201−2109＝4092 ，

　S(9，16)＝16･17･33/6−8･9･17/6＝1496−204＝1292 ，

　S(44，51)＞44²･8＞10000 ですので、

　33個の平方数の和として 10000以下になる可能性があるのは S(−26，16) だけで、

　S(−26，16)＝16･17･33/6＋26･27･53/6＝1496＋6201＝7697 です。

　a≡24，b≡11 (mod 35) の場合、

　最小の場合は、S(−11，11)＝11･12･23/6＋11･12･23/6＝506･2＝1012 、

　次に小さいのは、S(24，46)＞24²･23＞10000 です。 

　よって、10000以下の値は 1012，1292，4092，7697 です。

*これはグリコのマークですた…^^;

友人のものが考えやすかったけど…

but…まだ、どこかに和が32になるところがあるわけなのでしょうけど…^^;

mod はすべて35
(35+k)^2≡k^2
(35-k)^2≡k^2
よってm^2の余りはm=0〜17について求めると
0 1 4 9 16 -10 1 14 -6 11 -5 16 4 -6 -14 15 11 9
m=18〜35 では逆の並びで、これの繰り返し。
9番目から16番目 と 逆の19番目から26番目 が足して32になる (A)
よってs(9,16)=1292 s(19,26)=4092
次のs(44,51)は10000以上になるので不適
(A) のところは、分からず目分量でみつけた…

*これを…

0 1 4 9 16 -10 1 14 -6 11 -5 16 4 -6 -14 15 11 9 9 11 15 -14 -6 4 16 -5 11 -6 14 1 -10 16 9 4 1 0

の中から...連続和が32になる部分列を見つければいいはずなんだけど…

ウォーリーを探すのは至難の業あるね…^^;

11307：正四角錐と正三角錐で大きな正四角錐を作る...

いつも半眼で弛緩してるウス…^^;

半死半生か…^^;;...

問題11307・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

どの辺の長さも3cmである四角すいをA、
どの辺の長さも3cmである三角すいをBとします。

AとBを何個か使って、すき間なく組み合わせると、どの辺の長さも6cmである四角すいができます。AとBはそれぞれ何個ずつ必要ですか？

（栄光学園中 1998年）

解答

解答は…上記サイトへ Go〜 ^^

形から考えたら…必然的にわかってきますね…^^♪

11306：2点間の距離が2種類の平面上の4点...

気怠そう...🐱夏バテか…^^;

問題11306・・・某サイトより Orz〜

平面上の4点のうち2点間の距離が2種類しかない配置を求めよ。

(ちなみに…6種類あるそうです ^^)

解答

デジャヴー ^^

・わたしの…

11305：小数第2位を四捨五入…0.1, 0,2 が2個ずつ...

懐かしのセンス見っけ ^^♪

問題11305・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf 

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

0.05<=(0.1)<0.15・・・

1/20<=1/n,2/n<3/20・・・20>=n>20/3・・・7<n<=20

3/20<=3/n・・・20/3>=n/3・・・20>=n・・・満たしてる

                                 

0.15<=(0.2)<0.3・・・

3/20<=3/n,4/n<3/10・・・20/3>=n/3>10/3・・・20<=n<10

3/10<=5/n・・・10/3>=n/5・・・50/3>16>=n

so…20>=n>17

じっさいに…

1/20=0.05

2/20=0.10

3/20=0.15

4/20=0.20

5/20=0.25

1/19=0.05...

2/19=0.10...

3/19=0.15...

4/19=0.21…

5/19=0.26...

1/18=0.05…

2/18=0.11…

3/18=0.16…

4/18=0.22…

5/18=0.27…

1/17=0.05…

2/17=0.11…

3/17=0.17…

4/17=0.23…

5/17=0.29…

1/16=0.06…

2/16=0.125

3/16=0.18…

4/16=0.25

でOKね ^^

↑

思慮不足ぅ...^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

xの2つの区間 A: 0.05n≦x<0.15n，B: 0.15n≦x<0.25n を考えて，
A,Bがそれぞれちょうど2つの整数を含めばよい．

A∪B，すなわち，区間 0.05n≦x<0.25n が整数を4つ含むから，
区間の幅0.2nは3<0.2n<5を満たすことが必要で，15<n<25.
n=16のとき，A: 0.8≦x<2.4, B: 2.4≦x<4 より不適．
n=17,18,19のとき，0<0.05n<1,2<0.15n<3,4<0.25n<5 より適する．
n=20のとき，A: 1≦x<3, B: 3≦x<5 より適する．
n=21,22,23のとき，1<0.05n<2,3<0.15n<4,5<0.25n<6 より適する．
n=24のとき，A: 1.2≦x<3.6, B: 3.6≦x<6 より適する．

結局，n=17,18,19,20,21,22,23,24ですね．

例えば，
1/24=0.04…,2/24=0.08…,3/24=0.125,4/24=0.16…,5/24=0.20…,6/24=0.25
であり，小数第2位を四捨五入すると，順に0.0,0.1,0.1,0.2,0.2,0.3です．

*納豆食ってばかり…^^;☆